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Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ? | MetMat

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Comment utiliser la série exponentielle $\sum x^k/k!$ ?

En appliquant $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x$

L'objectif

Calculer explicitement la somme d'une série faisant intervenir $x^k/k!$ à l'aide de l'exponentielle.

Le principe

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , la série $\sum x^k/k!$ converge et $\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^k}{k!}=e^x$ (résultat admis ou démontré via Taylor).

La méthode

1
Je reconnais dans la somme un schéma $x^k/k!$ éventuellement modifié (décalage d'indice, facteur $k$ , $k(k-1)$ ...).
2
J'effectue les manipulations d'indice nécessaires : décalage $k\to k-1$ , $k/k!=1/(k-1)!$ , etc.
3
J'applique $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k!=e^x$ en identifiant la valeur de $x$ .
4
Je recompose la somme demandée et je conclus.

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2^k}{k!}$ .

Application guidée 2

Calculer $S=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k!}$ .

Application autonome 1

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{k}{k!}$ .

Application autonome 2

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!}$ .

Application autonome 3

Calculer $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^2}{k!}$ .

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En appliquant ∑k=0+∞xk/k!=ex\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x∑k=0+∞​xk/k!=ex

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En appliquant $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x$