En appliquant $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k! = e^x$

Calculer explicitement la somme d'une série faisant intervenir $x^k/k!$ à l'aide de l'exponentielle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2^k}{k!}$ .

L'objectif

Calculer explicitement la somme d'une série faisant intervenir $x^k/k!$ à l'aide de l'exponentielle.

Le principe

Pour tout $x\in\mathbb{R}$ , la série $\sum x^k/k!$ converge et $\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{x^k}{k!}=e^x$ (résultat admis ou démontré via Taylor).

La méthode

1
On reconnaît dans la somme un schéma $x^k/k!$ éventuellement modifié (décalage d'indice, facteur $k$ , $k(k-1)$ ...).
2
On effectue les manipulations d'indice nécessaires : décalage $k\to k-1$ , $k/k!=1/(k-1)!$ , etc.
3
On applique $\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k!=e^x$ en identifiant la valeur de $x$ .
4
On recompose la somme demandée et on conclut.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2^k}{k!}$ .

Étape 1 —

On reconnaît dans la somme un schéma

x^k/k!

éventuellement modifié (décalage d'indice, facteur

k

k(k-1)

...).

Forme $x^k/k!$ avec $x=2$ .

Étape 2 —

On effectue les manipulations d'indice nécessaires : décalage

k\to k-1

k/k!=1/(k-1)!

, etc.

Aucune manipulation nécessaire.

Étape 3 —

On applique

\sum_{k=0}^{+\infty} x^k/k!=e^x

en identifiant la valeur de

x

$S=e^2$ .

Étape 4 —

On recompose la somme demandée et on conclut.

Donc $S=e^2$ .

$S=e^2$

Application guidée

Calculer $S=\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k!}$ .

Application autonome 1

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{k}{k!}$ .

Application autonome 2

Calculer $S=\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{(-1)^k}{k!}$ .

Application autonome 3

Calculer $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{k^2}{k!}$ .

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