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Comment étudier la nature d'une série quelconque via la convergence absolue ? | MetMat

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Comment étudier la nature d'une série quelconque via la convergence absolue ?

En montrant la convergence de $\sum|u_n|$

L'objectif

Démontrer la convergence d'une série quelconque (signe variable) en prouvant celle de la série des valeurs absolues.

Le principe

Résultat admis : toute série absolument convergente est convergente. On étudie donc $\sum |u_n|$ (à termes positifs) avec les outils usuels.

La méthode

1
On pose $|u_n|$ et on remarque que $\sum|u_n|$ est à termes positifs.
2
On étudie la nature de $\sum|u_n|$ par comparaison, équivalent ou négligeabilité.
3
Si $\sum|u_n|$ converge, on conclut par le théorème (admis) : la convergence absolue entraîne la convergence, donc $\sum u_n$ converge.

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Application guidée 1

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ .

Application guidée 2

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 0} \dfrac{\cos(n)}{2^n}$ .

Application autonome 1

Étudier la nature de $\sum_{n\geq 1} \dfrac{(-1)^n\sin(n)}{n^3+1}$ .

Application autonome 2

Étudier la nature de $\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{\sin(n^2)}{n^4}$ .

Application autonome 3

Étudier la nature de $\sum_{n\geqslant 0} \dfrac{(-1)^n}{3^n}$ .

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En montrant la convergence de ∑∣un∣\sum|u_n|∑∣un​∣

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En montrant la convergence de $\sum|u_n|$