En appliquant les formules $\sum k = n(n+1)/2$ et $\sum q^k$

Transformer une somme en une formule close grâce aux formules classiques des sommes arithmétiques et géométriques.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $S = \sum_{k=3}^{n} k$ pour $n \geq 3$ .

L'objectif

Transformer une somme en une formule close grâce aux formules classiques des sommes arithmétiques et géométriques.

Le principe

$\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ et, pour $q \neq 1$ , $\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ .

La méthode

1
J'identifie la nature de la somme : arithmétique (terme général linéaire en $k$ ) ou géométrique (terme général en $q^k$ ).
2
Je ramène les bornes à la forme standard $k=0$ ou $k=1$ par un changement d'indice si nécessaire.
3
J'applique la formule : $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ ou $\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q \neq 1$ .
4
Je simplifie l'expression obtenue et je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $S = \sum_{k=3}^{n} k$ pour $n \geq 3$ .

Étape 1 —

J'identifie la nature de la somme : arithmétique (terme général linéaire en

k

) ou géométrique (terme général en

q^k

Il s'agit d'une somme arithmétique de terme général $k$ .

Étape 2 —

Je ramène les bornes à la forme standard

k=0

k=1

par un changement d'indice si nécessaire.

J'écris $S = \sum_{k=0}^{n} k - \sum_{k=0}^{2} k = \sum_{k=0}^{n} k - 3$ .

Étape 3 —

J'applique la formule :

\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}

\sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

pour

q \neq 1

J'applique la formule : $\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Étape 4 —

Je simplifie l'expression obtenue et je conclus.

Donc $S = \dfrac{n(n+1)}{2} - 3 = \dfrac{n^2 + n - 6}{2} = \dfrac{(n-2)(n+3)}{2}$ .

$S = \dfrac{(n-2)(n+3)}{2}$ .

Application guidée

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} 3^k$ .

Application autonome 1

Calculer $S = \sum_{k=2}^{n} \left(\dfrac{1}{2}\right)^k$ pour $n \geq 2$ .

Application autonome 2

Calculer $S = \sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$ .

Application autonome 3

Calculer $S=\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (k+2^k)$ pour $n\geq 0$ .

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