En vérifiant l'initialisation et l'hérédité

Démontrer rigoureusement qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

L'objectif

Démontrer rigoureusement qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Le principe

Si $P(n_0)$ est vraie et si $\forall n \geq n_0,\ P(n) \Rightarrow P(n+1)$ , alors $\forall n \geq n_0,\ P(n)$ est vraie.

La méthode

1
Je pose $P(n)$ : la propriété à démontrer pour $n \geq n_0$ , et je précise le rang initial $n_0$ .
2
Initialisation : je vérifie que $P(n_0)$ est vraie par un calcul direct.
3
Hérédité : je fixe $n \geq n_0$ , je suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et je démontre $P(n+1)$ .
4
Je conclus par le principe de récurrence que $\forall n \geq n_0,\ P(n)$ est vraie.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Étape 1 —

Je pose

P(n)

: la propriété à démontrer pour

n \geq n_0

, et je précise le rang initial

n_0

Je pose $P(n)$ : $\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , avec $n_0 = 0$ .

Étape 2 —

Initialisation : je vérifie que

P(n_0)

est vraie par un calcul direct.

Pour $n = 0$ : $\sum_{k=0}^{0} k = 0$ et $\dfrac{0 \cdot 1}{2} = 0$ , donc $P(0)$ est vraie.

Étape 3 —

Hérédité : je fixe

n \geq n_0

, je suppose

P(n)

vraie (hypothèse de récurrence) et je démontre

P(n+1)

Soit $n \geq 0$ , supposons $\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ . Alors $\sum_{k=0}^{n+1} k = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ .

Étape 4 —

Je conclus par le principe de récurrence que

\forall n \geq n_0,\ P(n)

est vraie.

Par récurrence, $\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

$\forall n \in \mathbb{N},\ \sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Application guidée

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ . Montrer que $\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = 2^{n+1} - 1$ .

Application autonome 1

Montrer que $\forall n \geq 4,\ 2^n \geq n^2$ .

Application autonome 2

Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}^*,\ \sum_{k=1}^n k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Application autonome 3

Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $7^n-1$ est divisible par $6$ .

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