Comment démontrer une propriété par récurrence simple ?

En vérifiant l'initialisation et l'hérédité

L'objectif

Démontrer rigoureusement qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Le principe

Si $P(n_0)$ est vraie et si $\forall n \geq n_0,\ P(n) \Rightarrow P(n+1)$ , alors $\forall n \geq n_0,\ P(n)$ est vraie.

La méthode

1
Je pose $P(n)$ : la propriété à démontrer pour $n \geq n_0$ , et je précise le rang initial $n_0$ .
2
Initialisation : je vérifie que $P(n_0)$ est vraie par un calcul direct.
3
Hérédité : je fixe $n \geq n_0$ , je suppose $P(n)$ vraie (hypothèse de récurrence) et je démontre $P(n+1)$ .
4
Je conclus par le principe de récurrence que $\forall n \geq n_0,\ P(n)$ est vraie.

Difficulté croissante de 1 à 3

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