En permutant l'ordre (Fubini) ou en séparant en produit

Simplifier ou calculer une double somme finie en exploitant la structure du terme général et du domaine de sommation.

L'objectif

Simplifier ou calculer une double somme finie en exploitant la structure du terme général et du domaine de sommation.

Le principe

Sur un rectangle, $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{m} \sum_{i=1}^{n} a_{i,j}$ , et si $a_{i,j} = b_i c_j$ , alors $\sum_{i,j} a_{i,j} = \left(\sum_i b_i\right)\left(\sum_j c_j\right)$ .

La méthode

1
J'identifie le domaine de sommation : rectangle $\{1, \ldots, n\} \times \{1, \ldots, m\}$ ou triangulaire $\{(i,j) : 1 \leq i \leq j \leq n\}$ .
2
Si $a_{i,j} = b_i c_j$ sur un rectangle, je sépare : $\sum_{i,j} b_i c_j = \left(\sum_i b_i\right)\left(\sum_j c_j\right)$ . Sinon je prépare une permutation d'ordre.
3
Sur un domaine triangulaire, je permute : $\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{i,j}$ , en redessinant le domaine si besoin.
4
Je calcule chaque somme intérieure avec les formules classiques puis je conclus.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} ij$ .

Étape 1 —

J'identifie le domaine de sommation : rectangle

\{1, \ldots, n\} \times \{1, \ldots, m\}

ou triangulaire

\{(i,j) : 1 \leq i \leq j \leq n\}

Le domaine est le rectangle $\{1, \ldots, n\}^2$ .

Étape 2 —

a_{i,j} = b_i c_j

sur un rectangle, je sépare :

\sum_{i,j} b_i c_j = \left(\sum_i b_i\right)\left(\sum_j c_j\right)

. Sinon je prépare une permutation d'ordre.

Le terme général se sépare : $ij = b_i c_j$ avec $b_i = i$ et $c_j = j$ . Donc $S = \left(\sum_{i=1}^{n} i\right) \left(\sum_{j=1}^{n} j\right)$ .

Étape 3 —

Sur un domaine triangulaire, je permute :

\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=i}^{n} a_{i,j} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{j} a_{i,j}

, en redessinant le domaine si besoin.

Pas de permutation nécessaire.

Étape 4 —

Je calcule chaque somme intérieure avec les formules classiques puis je conclus.

$S = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

$S = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ .

Application guidée

Calculer $S = \sum_{1 \leq i \leq j \leq n} 1$ .

Application autonome 1

Calculer $S = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{i} j$ .

Application autonome 2

Calculer $S=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i+j)$ .

Application autonome 3

Calculer $T=\sum_{1\leq i\leq j\leq n}i$ .

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