En développant $(a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$

Développer une expression $(a+b)^n$ ou reconnaître une somme comme cas particulier du binôme de Newton.

L'objectif

Développer une expression $(a+b)^n$ ou reconnaître une somme comme cas particulier du binôme de Newton.

Le principe

Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ (ou plus généralement commutant) et $n \in \mathbb{N}$ , $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .

La méthode

1
J'identifie $a$ , $b$ et $n$ dans l'expression, ou j'essaie de reconnaître une somme $\sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .
2
Je pose la formule : $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$ .
3
Je développe ou je factorise selon le sens d'application (développement direct ou reconnaissance inverse).
4
Je simplifie et je conclus.

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Développer $(x+2)^4$ .

Application guidée 2

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ .

Application autonome 1

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k}$ pour $n \geq 1$ .

Application autonome 2

Calculer $S = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 3^k$ .

Application autonome 3

Calculer $S=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^k$ .

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En développant (a+b)n=∑(nk)akbn−k(a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}(a+b)n=∑(kn​)akbn−k

Évalue la méthode

En développant $(a+b)^n = \sum \binom{n}{k} a^k b^{n-k}$