Comment calculer la probabilité d'une union (formule de Poincaré) ?

En appliquant $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (extension à 3)

L'objectif

Calculer la probabilité d'une réunion d'événements quelconques, même non incompatibles.

Le principe

Pour tous événements $A,B$ : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ ; pour trois événements, on ajoute les intersections 2 à 2 (avec signe $-$ ) et l'intersection triple (signe $+$ ).

La méthode

1
Je vérifie les hypothèses : $A,B$ (et $C$ ) sont des événements de $\Omega$ fini muni d'une probabilité $P$ .
2
Je calcule $P(A)$ , $P(B)$ (et $P(C)$ ) ainsi que les probabilités des intersections $P(A\cap B)$ (et $P(A\cap C)$ , $P(B\cap C)$ , $P(A\cap B\cap C)$ ).
3
J'applique la formule de Poincaré : à 2 événements $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ , à 3 événements $P(A\cup B\cup C)=\sum P(A_i)-\sum_{i<j} P(A_i\cap A_j)+P(A\cap B\cap C)$ .
4
Je simplifie et je vérifie que le résultat appartient à $[0,1]$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En appliquant P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) (extension à 3)

Exemple corrigé

En appliquant $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ (extension à 3)