En vérifiant la relation produit pour toute sous-famille

L'objectif

Démontrer rigoureusement l'indépendance mutuelle d'une famille finie d'événements.

Le principe

$A_1,\dots,A_n$ sont mutuellement indépendants ssi pour toute partie $I\subset\{1,\dots,n\}$ de cardinal $\ge 2$ , $P\!\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)=\prod_{i\in I} P(A_i)$ .

La méthode

1
Je calcule $P(A_i)$ pour chaque $i\in\{1,\dots,n\}$ .
2
Je liste toutes les sous-parties $I\subset\{1,\dots,n\}$ de cardinal $\ge 2$ (il y en a $2^n-n-1$ ).
3
Pour chaque $I$ , je calcule $P\!\left(\bigcap_{i\in I} A_i\right)$ et je vérifie qu'il est égal à $\prod_{i\in I}P(A_i)$ .
4
Si toutes les égalités sont vérifiées, je conclus à l'indépendance mutuelle ; sinon j'exhibe un sous-ensemble contredisant la relation.

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Application guidée 1

On lance 3 pièces équilibrées. $A_i$ = « pile au $i$ -ème lancer » pour $i=1,2,3$ . Montrer que $A_1,A_2,A_3$ sont mutuellement indépendants.

Application guidée 2

On lance deux dés équilibrés distincts. $A$ = « 1er dé pair », $B$ = « 2e dé pair », $C$ = « somme paire ». $A,B,C$ mutuellement indépendants ?

Application autonome 1

On tire successivement 3 cartes avec remise dans un jeu de 32. $C_i$ = « $i$ -ème carte est un cœur ». $C_1,C_2,C_3$ mutuellement indépendants ?

Application autonome 2

On tire avec remise 3 boules d'une urne contenant 5 rouges et 5 noires. $R_i$ = « la $i$ -ème boule est rouge ». Montrer que $R_1,R_2,R_3$ sont mutuellement indépendants.

Application autonome 3

On lance 4 dés équilibrés. $A_i$ = « le $i$ -ème dé donne un 6 ». Montrer que $A_1,A_2,A_3,A_4$ sont mutuellement indépendants.

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