En développant $P(X) = \sum P^{(k)}(a)/k!\,(X - a)^k$

L'objectif

Réécrire un polynôme $P$ sur la base des $(X - a)^k$ afin d'étudier $P$ autour de $a$ ou d'effectuer un changement de variable.

Le principe

Formule de Taylor pour un polynôme : si $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ et $a \in \mathbb{R}$ , alors $P(X) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!} (X - a)^k$ (égalité exacte, sans reste).

La méthode

1
Je détermine $n = \deg(P)$ et le point $a$ autour duquel je veux développer.
2
Je calcule successivement $P(a), P'(a), \dots, P^{(n)}(a)$ .
3
Je forme la somme $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \dfrac{P^{(k)}(a)}{k!}(X - a)^k$ et je vérifie la cohérence en remplaçant $X$ par une valeur simple.
4
Je conclus en écrivant $P$ sous la forme demandée, prête pour l'étude locale ou le changement de variable $Y = X - a$ .

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Application guidée 1

Écrire $P(X) = X^3 - X + 1$ suivant les puissances de $(X - 1)$ .

Application guidée 2

Écrire $P(X) = X^3 + 2X^2 + X$ suivant les puissances de $X$ (en $a = 0$ ), et en déduire la multiplicité de $0$ .

Application autonome 1

Écrire $P(X) = X^4$ suivant les puissances de $(X + 1)$ .

Application autonome 2

Écrire $P(X)=X^3-3X^2+X+2$ suivant les puissances de $(X-2)$ .

Application autonome 3

Écrire $P(X)=X^4-2X^2+1$ suivant les puissances de $(X-1)$ et en déduire la multiplicité de $1$ comme racine.

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En développant P(X)=∑P(k)(a)/k! (X−a)kP(X) = \sum P^{(k)}(a)/k!\,(X - a)^kP(X)=∑P(k)(a)/k!(X−a)k

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En développant $P(X) = \sum P^{(k)}(a)/k!\,(X - a)^k$