En divisant $P$ par $(X - a)$

L'objectif

Obtenir la factorisation $P(X) = (X - a) Q(X)$ et faire apparaître un polynôme $Q$ de degré $\deg(P) - 1$ .

Le principe

Si $a$ est racine de $P$ , alors $(X - a)$ divise $P$ : il existe $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(X) = (X - a) Q(X)$ avec $\deg(Q) = \deg(P) - 1$ .

La méthode

1
Je vérifie $P(a) = 0$ pour m'assurer que $a$ est bien racine de $P$ .
2
J'effectue la division euclidienne de $P$ par $(X - a)$ ; le reste doit être nul.
Comment effectuer une division euclidienne ?Voir
3
J'écris $P(X) = (X - a) Q(X)$ où $Q$ est le quotient obtenu.
4
Si besoin, je poursuis la factorisation de $Q$ par les mêmes techniques (racine évidente, discriminant si $\deg Q = 2$ …).
Comment déterminer les racines d'un polynôme de degré 2 ?Voir

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Application guidée 1

Factoriser $P(X) = X^3 - 3X^2 + 4$ sachant que $2$ est racine.

Application guidée 2

Factoriser $P(X) = X^3 + X^2 - X - 1$ sachant que $1$ est racine.

Application autonome 1

Factoriser $P(X) = 2X^3 - 5X^2 + X + 2$ sachant que $2$ est racine.

Application autonome 2

Factoriser $P(X)=X^4-X^3-X^2-X-2$ sachant que $2$ est racine.

Application autonome 3

Factoriser $P(X)=X^3-6X^2+11X-6$ (on vérifiera que $1, 2, 3$ sont racines).

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En divisant PPP par (X−a)(X - a)(X−a)

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En divisant $P$ par $(X - a)$