En posant la division euclidienne par puissances décroissantes

Obtenir l'écriture $A = BQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(B)$ de manière algorithmique.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = X^3 - 2X^2 + X - 1$ par $B(X) = X - 1$ .

L'objectif

Obtenir l'écriture $A = BQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(B)$ de manière algorithmique.

Le principe

Théorème : pour $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B \neq 0$ , il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $A = BQ + R$ et $\deg(R) < \deg(B)$ (résultat admis au BO).

La méthode

1
J'ordonne $A$ et $B$ par puissances décroissantes de $X$ et je vérifie $B \neq 0$ .
2
Je divise le monôme dominant de $A$ par celui de $B$ : j'obtiens un monôme que j'ajoute au quotient, puis je retranche à $A$ le produit de ce monôme par $B$ .
3
Je recommence sur le nouveau dividende tant que son degré reste supérieur ou égal à $\deg(B)$ .
4
Je m'arrête dès que $\deg(R) < \deg(B)$ , et j'écris la relation $A = BQ + R$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = X^3 - 2X^2 + X - 1$ par $B(X) = X - 1$ .

Étape 1 —

J'ordonne

A

B

par puissances décroissantes de

X

et je vérifie

B \neq 0

$A$ et $B$ sont déjà ordonnés ; $\deg(A) = 3$ , $\deg(B) = 1$ , $B \neq 0$ .

Étape 2 —

Je divise le monôme dominant de

A

par celui de

B

: j'obtiens un monôme que j'ajoute au quotient, puis je retranche à

A

le produit de ce monôme par

B

$X^3 / X = X^2$ , donc $Q$ commence par $X^2$ . Je calcule $A - X^2 B = X^3 - 2X^2 + X - 1 - (X^3 - X^2) = -X^2 + X - 1$ .

Étape 3 —

Je recommence sur le nouveau dividende tant que son degré reste supérieur ou égal à

\deg(B)

$-X^2 / X = -X$ , je l'ajoute à $Q$ . Nouveau reste : $-X^2 + X - 1 - (-X)(X - 1) = -X^2 + X - 1 + X^2 - X = -1$ . Comme $\deg(-1) = 0 < 1$ , je m'arrête.

Étape 4 —

Je m'arrête dès que

\deg(R) < \deg(B)

, et j'écris la relation

A = BQ + R

Je conclus : $Q(X) = X^2 - X$ et $R(X) = -1$ , d'où $X^3 - 2X^2 + X - 1 = (X-1)(X^2 - X) - 1$ .

$A = (X-1)(X^2 - X) + (-1)$ , soit $Q(X) = X^2 - X$ et $R(X) = -1$ .

Application guidée

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = 2X^4 + X^3 - 3X + 5$ par $B(X) = X^2 + 1$ .

Application autonome 1

Effectuer la division euclidienne de $A(X) = X^4 + 1$ par $B(X) = X^2 + X + 1$ .

Application autonome 2

Effectuer la division euclidienne de $A(X)=X^3+X+1$ par $B(X)=X-2$ .

Application autonome 3

Effectuer la division euclidienne de $A(X)=X^5-1$ par $B(X)=X^2-1$ .

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