Comment calculer une puissance $A^n$ d'une matrice ? | MetMat

Comment calculer une puissance $A^n$ d'une matrice ?

En décomposant $A=D+N$ avec $DN=ND$ et en appliquant la formule du binôme

Calculer $A^n$ lorsque $A$ se décompose en somme de matrices qui commutent, dont l'une est facile à élever à une puissance.

L'objectif

Calculer $A^n$ lorsque $A$ se décompose en somme de matrices qui commutent, dont l'une est facile à élever à une puissance.

Le principe

Si $A=D+N$ avec $DN=ND$ , la formule du binôme s'applique : $A^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D^{n-k}N^k$ ; si de plus $N$ est nilpotente ( $N^p=0$ ), la somme se réduit à ses $p$ premiers termes.

La méthode

1
Je décompose $A=D+N$ où $D$ est diagonale (ou scalaire) et $N$ est nilpotente d'indice $p$ .
2
Je vérifie $DN=ND$ : c'est automatique si $D=\lambda I_n$ , à vérifier sinon.
3
J'applique la formule du binôme : $A^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D^{n-k}N^k$ , somme tronquée à $k<p$ car $N^k=0$ pour $k\geq p$ .
Comment utiliser la formule du binôme de Newton ?Voir
4
Je calcule chaque terme $D^{n-k}N^k$ et je rassemble pour obtenir $A^n$ en forme close.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Étape 1 —

Je décompose

A=D+N

où

D

est diagonale (ou scalaire) et

N

est nilpotente d'indice

p

Je pose $D=2I_2$ et $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ ; alors $A=D+N$ et $N^2=0$ .

Étape 2 —

Je vérifie

DN=ND

: c'est automatique si

D=\lambda I_n

, à vérifier sinon.

$D=2I_2$ commute avec toute matrice, donc $DN=ND$ .

Étape 3 —

J'applique la formule du binôme :

A^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D^{n-k}N^k

, somme tronquée à

k<p

car

N^k=0

pour

k\geq p

Binôme avec $N^2=0$ : $A^n=\sum_{k=0}^{1}\binom{n}{k}(2I_2)^{n-k}N^k=2^nI_2+n\cdot 2^{n-1}N$ .

Étape 4 —

Je calcule chaque terme

D^{n-k}N^k

et je rassemble pour obtenir

A^n

en forme close.

$A^n=\begin{pmatrix}2^n&n\cdot 2^{n-1}\\0&2^n\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ .

Application autonome 1

Soit $A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 2

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

Application autonome 3

Soit $A=\begin{pmatrix}2&0&1\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ . Calculer $A^n$ pour $n\in\mathbb{N}$ .

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En décomposant A=D+NA=D+NA=D+N avec DN=NDDN=NDDN=ND et en appliquant la formule du binôme

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant $A=D+N$ avec $DN=ND$ et en appliquant la formule du binôme