En exhibant une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ )

L'objectif

Démontrer que $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est inversible en produisant explicitement son inverse.

Le principe

Pour une matrice carrée, le B.O. admet qu'un inverse à gauche ou à droite est l'inverse : il suffit donc de trouver $B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tel que $AB=I_n$ ou $BA=I_n$ .

La méthode

1
Je cherche une relation polynomiale sur $A$ (par exemple $A^2-A-I_n=0$ ) ou je pose un candidat $B$ naturel.
2
Je transforme la relation pour isoler $I_n$ : $A\cdot P(A)=I_n$ fournit $B=P(A)$ .
3
Je vérifie soigneusement le calcul $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ ).
4
Je conclus : $A$ est inversible et $A^{-1}=B$ .

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ est inversible.

Application guidée 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3=A+I_n$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 1

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-2&1\\3/2&-1/2\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 2

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2+A=I_n$ . Montrer que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$ .

Application autonome 3

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible et donner $A^{-1}$ .

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En exhibant une matrice BBB telle que AB=InAB=I_nAB=In​ (ou BA=InBA=I_nBA=In​)

Évalue la méthode

En exhibant une matrice $B$ telle que $AB=I_n$ (ou $BA=I_n$ )