En montrant que $AX=0\Rightarrow X=0$

Démontrer l'inversibilité de $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sans calculer explicitement l'inverse.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

L'objectif

Démontrer l'inversibilité de $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sans calculer explicitement l'inverse.

Le principe

Pour $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , $A$ est inversible si et seulement si le système homogène $AX=0$ admet uniquement la solution nulle $X=0$ .

La méthode

1
Je suppose $X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ vérifiant $AX=0$ .
2
Je manipule le système : opérations élémentaires, lecture des équations ligne par ligne ou utilisation d'une propriété de $A$ .
3
Je déduis que toutes les coordonnées de $X$ sont nulles, donc $X=0$ .
4
Je conclus : le noyau de $A$ est trivial ( $\{0\}$ ), donc $A$ est inversible.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $A=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Étape 1 —

Je suppose

X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})

vérifiant

AX=0

Soit $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ tel que $AX=0$ .

Étape 2 —

Je manipule le système : opérations élémentaires, lecture des équations ligne par ligne ou utilisation d'une propriété de

A

Les équations sont $x+y+z=0$ , $y+z=0$ , $z=0$ .

Étape 3 —

Je déduis que toutes les coordonnées de

X

sont nulles, donc

X=0

La 3e donne $z=0$ , la 2e donne $y=0$ , la 1re donne $x=0$ , donc $X=0$ .

Étape 4 —

Je conclus : le noyau de

A

est trivial (

\{0\}

), donc

A

est inversible.

$AX=0\Rightarrow X=0$ : $A$ est inversible.

$A$ est inversible.

Application guidée

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^2+2A+I_n=0$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 1

Soit $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 2

Soit $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&5\end{pmatrix}$ . Montrer que $A$ est inversible.

Application autonome 3

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A^3=A+I_n$ . Montrer que $A$ est inversible.

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