En enchaînant des équivalences successives

Prouver $P \Leftrightarrow Q$ par une chaîne d'équivalences.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer par équivalences que $x^2 - 5x + 6 \leqslant 0 \Leftrightarrow 2 \leqslant x \leqslant 3$ .

L'objectif

Prouver $P \Leftrightarrow Q$ par une chaîne d'équivalences.

Le principe

Si $P \Leftrightarrow R_1 \Leftrightarrow R_2 \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow Q$ , alors par transitivité $P \Leftrightarrow Q$ ; chaque étape doit être réellement équivalente (pas seulement implicative).

La méthode

1
Je pars de $P$ et je cherche à la transformer en $Q$ par manipulations équivalentes (opérations réversibles, équivalences algébriques justifiées).
2
À chaque étape, je justifie pourquoi la transformation est une équivalence (et non une simple implication).
3
Je conclus : la chaîne $P \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow Q$ prouve $P \Leftrightarrow Q$ .

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Exercice d'exemple

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer par équivalences que $x^2 - 5x + 6 \leqslant 0 \Leftrightarrow 2 \leqslant x \leqslant 3$ .

Étape 1 —

Je pars de

P

et je cherche à la transformer en

Q

par manipulations équivalentes (opérations réversibles, équivalences algébriques justifiées).

Je factorise : $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$ (discriminant $\Delta = 1$ , racines $2$ et $3$ ).

Étape 2 —

À chaque étape, je justifie pourquoi la transformation est une équivalence (et non une simple implication).

Donc $x^2-5x+6 \leqslant 0 \Leftrightarrow (x-2)(x-3)\leqslant 0$ (factorisation, réversible).

Étape 3 —

Je conclus : la chaîne

P \Leftrightarrow \dots \Leftrightarrow Q

prouve

P \Leftrightarrow Q

Un produit de deux facteurs est négatif ou nul si et seulement si les facteurs sont de signes opposés ou l'un est nul : $(x-2)(x-3)\leqslant 0 \Leftrightarrow (x-2\geqslant 0 \text{ et } x-3\leqslant 0)$ ou $(x-2\leqslant 0 \text{ et } x-3\geqslant 0)$ , soit $\Leftrightarrow 2 \leqslant x \leqslant 3$ (l'autre cas est vide). Donc $x^2-5x+6\leqslant 0 \Leftrightarrow 2\leqslant x\leqslant 3$ .

$x^2-5x+6\leqslant 0 \Leftrightarrow 2\leqslant x\leqslant 3$ .

Application guidée

Soient $a,b,c \in \mathbb{R}$ avec $a > 0$ . Montrer que $ax^2 + bx + c \leqslant 0 \Leftrightarrow \left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 \leqslant \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ .

Application autonome 1

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $x^2 - 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow (x \leqslant -2 \text{ ou } x \geqslant 2)$ .

Application autonome 2

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Résoudre par équivalences $\sqrt{x+1}=x-1$ .

Application autonome 3

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ . Montrer par équivalences que $x^2+y^2\leqslant 2xy \Leftrightarrow x=y$ .

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