En prouvant séparément les deux implications réciproques

Prouver $P \Leftrightarrow Q$ en établissant $P \Rightarrow Q$ puis $Q \Rightarrow P$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

L'objectif

Prouver $P \Leftrightarrow Q$ en établissant $P \Rightarrow Q$ puis $Q \Rightarrow P$ .

Le principe

Par définition, $P \Leftrightarrow Q$ équivaut à la conjonction $(P \Rightarrow Q)$ et $(Q \Rightarrow P)$ ; on démontre les deux implications réciproques.

La méthode

1
Je sépare la preuve en deux parties : sens direct ( $P \Rightarrow Q$ ) et sens réciproque ( $Q \Rightarrow P$ ).
2
Je démontre l'implication directe : je suppose $P$ et j'en déduis $Q$ .
3
Je démontre l'implication réciproque : je suppose $Q$ et j'en déduis $P$ .
4
Je conclus que $P \Leftrightarrow Q$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n$ est pair si et seulement si $n^2$ est pair.

Étape 1 —

Je sépare la preuve en deux parties : sens direct (

P \Rightarrow Q

) et sens réciproque (

Q \Rightarrow P

Je montre les deux sens : $n$ pair $\Rightarrow n^2$ pair, puis $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair.

Étape 2 —

Je démontre l'implication directe : je suppose

P

et j'en déduis

Q

Sens direct : si $n = 2k$ , alors $n^2 = 2(2k^2)$ est pair.

Étape 3 —

Je démontre l'implication réciproque : je suppose

Q

et j'en déduis

P

Sens réciproque : par contraposée, si $n$ est impair alors $n = 2k+1$ donc $n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k)+1$ est impair.

Étape 4 —

Je conclus que

P \Leftrightarrow Q

Les deux implications étant prouvées, $n$ pair $\Leftrightarrow n^2$ pair.

$n$ pair $\Leftrightarrow n^2$ pair.

Application guidée

Soient $a,b \in \mathbb{R}$ . Montrer que $a^2 + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a = 0 \text{ et } b = 0)$ .

Application autonome 1

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \leqslant 1 \Leftrightarrow -1 \leqslant x \leqslant 1$ .

Application autonome 2

Soient $a,b\in\mathbb{R}$ . Montrer que $a=b \Leftrightarrow (a\leqslant b \text{ et } b\leqslant a)$ .

Application autonome 3

Soit $n\in\mathbb{Z}$ . Montrer que $3\mid n \Leftrightarrow 3\mid n^2$ .

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