En partitionnant les configurations et en traitant chaque cas

Prouver une proposition en découpant l'ensemble des configurations en cas exhaustifs et en traitant chacun.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \geqslant x$ .

L'objectif

Prouver une proposition en découpant l'ensemble des configurations en cas exhaustifs et en traitant chacun.

Le principe

Si $E = E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_k$ et si $P$ est vraie sur chaque $E_i$ , alors $P$ est vraie sur $E$ ; la partition doit couvrir toutes les possibilités.

La méthode

1
J'identifie une partition naturelle de l'ensemble de travail (par exemple selon le signe, la parité, l'appartenance à un intervalle…).
2
Je vérifie que la partition est exhaustive : tout élément appartient à au moins un cas.
3
Je traite chaque cas séparément et je montre que la conclusion tient dans chacun.
4
Je conclus que la proposition est vraie dans tous les cas, donc globalement.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \geqslant x$ .

Étape 1 —

J'identifie une partition naturelle de l'ensemble de travail (par exemple selon le signe, la parité, l'appartenance à un intervalle…).

Partition selon le signe de $x$ : cas 1 $x \geqslant 0$ , cas 2 $x < 0$ .

Étape 2 —

Je vérifie que la partition est exhaustive : tout élément appartient à au moins un cas.

Tout réel vérifie $x \geqslant 0$ ou $x < 0$ , la partition est exhaustive.

Étape 3 —

Je traite chaque cas séparément et je montre que la conclusion tient dans chacun.

Cas 1 : $|x| = x \geqslant x$ . Cas 2 : $|x| = -x > 0 > x$ , donc $|x| > x$ .

Étape 4 —

Je conclus que la proposition est vraie dans tous les cas, donc globalement.

Dans les deux cas, $|x| \geqslant x$ , donc $\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geqslant x$ .

$\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geqslant x$ .

Application guidée

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer que $n(n+1)$ est pair.

Application autonome 1

Soient $a,b \in \mathbb{R}$ . Montrer que $\max(a,b) + \min(a,b) = a + b$ .

Application autonome 2

Soit $n\in\mathbb{Z}$ . Montrer que $n^2+n+2$ est pair.

Application autonome 3

Soit $x\in\mathbb{R}$ . Montrer que $|x-1|+|x+1|\geqslant 2$ .

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