En exhibant un contre-exemple

Montrer qu'une proposition universelle de la forme $\forall x,\ P(x)$ est fausse.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la proposition « $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x$ » est fausse.

L'objectif

Montrer qu'une proposition universelle de la forme $\forall x,\ P(x)$ est fausse.

Le principe

La négation de $\forall x \in E,\ P(x)$ est $\exists x \in E,\ \neg P(x)$ : on exhibe un seul élément $x_0 \in E$ tel que $P(x_0)$ soit fausse.

La méthode

1
J'écris explicitement la négation de la proposition : $\exists x \in E,\ \neg P(x)$ .
Comment écrire la négation d'une proposition mathématique ?Voir
2
Je propose un candidat $x_0 \in E$ simple (nombre particulier, suite stationnaire, fonction constante…).
3
Je vérifie par calcul que $\neg P(x_0)$ est vraie, ce qui réfute la proposition.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que la proposition « $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x$ » est fausse.

Étape 1 —

J'écris explicitement la négation de la proposition :

\exists x \in E,\ \neg P(x)

Sa négation est $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 \leqslant x$ .

Étape 2 —

Je propose un candidat

x_0 \in E

simple (nombre particulier, suite stationnaire, fonction constante…).

Je choisis $x_0 = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Je vérifie par calcul que

\neg P(x_0)

est vraie, ce qui réfute la proposition.

On a $x_0^2 = \dfrac{1}{4}$ et $x_0 = \dfrac{1}{2}$ , donc $x_0^2 < x_0$ : la proposition est réfutée.

Contre-exemple : $x_0 = \dfrac{1}{2}$ .

Application guidée

Montrer que la proposition « toute fonction $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue est dérivable » est fausse.

Application autonome 1

Montrer que la proposition « $\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2,\ a^2 \leqslant b^2 \Rightarrow a \leqslant b$ » est fausse.

Application autonome 2

Montrer que la proposition « $\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 + n + 41$ est premier » est fausse.

Application autonome 3

Montrer que la proposition « toute suite bornée est convergente » est fausse.

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