En démontrant la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$

Prouver $P \Rightarrow Q$ en démontrant $\neg Q \Rightarrow \neg P$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer par contraposition que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

L'objectif

Prouver $P \Rightarrow Q$ en démontrant $\neg Q \Rightarrow \neg P$ .

Le principe

Une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)$ ; démontrer l'une revient à démontrer l'autre.

La méthode

1
J'écris les négations $\neg P$ et $\neg Q$ sous forme exploitable, par application des règles de négation.
2
J'annonce : « Montrons la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$ . » et je suppose $\neg Q$ .
3
Je déduis $\neg P$ par raisonnement direct.
4
Je conclus : la contraposée étant vraie, l'implication initiale $P \Rightarrow Q$ l'est aussi.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer par contraposition que si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair.

Étape 1 —

J'écris les négations

\neg P

\neg Q

sous forme exploitable, par application des règles de négation.

$\neg P$ : $n^2$ est impair ; $\neg Q$ : $n$ est impair.

Étape 2 —

J'annonce : « Montrons la contraposée

\neg Q \Rightarrow \neg P

. » et je suppose

\neg Q

Contraposée : « si $n$ est impair, alors $n^2$ est impair ». Supposons $n$ impair.

Étape 3 —

Je déduis

\neg P

par raisonnement direct.

Alors $n = 2k+1$ avec $k \in \mathbb{Z}$ , donc $n^2 = 4k^2+4k+1 = 2(2k^2+2k)+1$ est impair.

Étape 4 —

Je conclus : la contraposée étant vraie, l'implication initiale

P \Rightarrow Q

l'est aussi.

La contraposée étant vraie, $n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair.

$n^2$ pair $\Rightarrow n$ pair.

Application guidée

Soient $a,b \in \mathbb{R}_+$ . Montrer par contraposition que si $a \neq b$ , alors $\sqrt{a} \neq \sqrt{b}$ .

Application autonome 1

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite réelle. Montrer par contraposition que si $(u_n)$ ne converge pas vers $0$ , alors $(u_n^2)$ ne converge pas vers $0$ .

Application autonome 2

Soit $n\in\mathbb{N}$ . Montrer par contraposition que si $3n+1$ est pair, alors $n$ est impair.

Application autonome 3

Soient $x,y\in\mathbb{R}$ . Montrer par contraposition que si $xy\neq 0$ , alors $x\neq 0$ et $y\neq 0$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En démontrant la contraposée ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P¬Q⇒¬P

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En démontrant la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$