Comment raisonner par contraposition ?

En démontrant la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$

L'objectif

Prouver $P \Rightarrow Q$ en démontrant $\neg Q \Rightarrow \neg P$ .

Le principe

Une implication et sa contraposée sont logiquement équivalentes : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\neg Q \Rightarrow \neg P)$ ; démontrer l'une revient à démontrer l'autre.

La méthode

1
J'écris les négations $\neg P$ et $\neg Q$ de manière exploitable (en appliquant les règles de négation).
2
J'annonce : « Montrons la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$ . » et je suppose $\neg Q$ .
3
Je déduis $\neg P$ par raisonnement direct.
4
Je conclus : la contraposée étant vraie, l'implication initiale $P \Rightarrow Q$ l'est aussi.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En démontrant la contraposée ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P¬Q⇒¬P

Exemple corrigé

En démontrant la contraposée $\neg Q \Rightarrow \neg P$