En bissectant itérativement $[a_n,b_n]$ en conservant le changement de signe

L'objectif

Approcher numériquement une racine de l'équation $f(x) = 0$ sur un intervalle $[a, b]$ avec précision contrôlée.

Le principe

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a) \cdot f(b) < 0$ , alors le TVI assure l'existence d'une racine $c \in [a, b]$ ; en évaluant $f$ au milieu $m = \frac{a + b}{2}$ , on conserve la moitié où $f$ change de signe, obtenant une suite $(a_n, b_n)$ avec $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$ et que $f(a) \cdot f(b) < 0$ , ce qui assure par le TVI l'existence d'une racine dans $[a, b]$ ; je pose $a_0 = a$ , $b_0 = b$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
À l'étape $n$ , je calcule $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ ; si $f(a_n) \cdot f(m_n) \leq 0$ je pose $a_{n+1} = a_n$ , $b_{n+1} = m_n$ , sinon $a_{n+1} = m_n$ , $b_{n+1} = b_n$ .
3
J'itère jusqu'à ce que $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \leq \varepsilon$ ; je prends alors $m_n$ comme approximation de la racine avec erreur $\leq \varepsilon$ .

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Approcher à $10^{-1}$ près la racine de $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ .

Application guidée 2

Approcher à $10^{-1}$ près la racine de $f(x) = \ln(x) + x - 2$ sur $[1, 2]$ .

Application autonome 1

Déterminer le nombre d'itérations de dichotomie nécessaires pour approcher à $10^{-3}$ près une racine sur $[0, 1]$ .

Application autonome 2

Par dichotomie, approcher à $10^{-2}$ près la racine de $f(x)=x-\cos(x)$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 3

Combien d'itérations de dichotomie faut-il pour approcher à $10^{-6}$ près la racine de $f$ sur $[0,4]$ ?

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En bissectant itérativement [an,bn][a_n,b_n][an​,bn​] en conservant le changement de signe

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