En exploitant image d'intervalle = intervalle (continue) + max/min ou limites aux bornes

Donner explicitement l'intervalle $f(I)$ image de $I$ par une fonction continue $f$ .

L'objectif

Donner explicitement l'intervalle $f(I)$ image de $I$ par une fonction continue $f$ .

Le principe

L'image d'un intervalle (respectivement d'un segment) par une fonction continue est un intervalle (respectivement un segment) ; les bornes de $f(I)$ sont déterminées par $\max_I f$ et $\min_I f$ dans le cas d'un segment, ou par les limites de $f$ aux bornes dans les autres cas.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur $I$ , ce qui garantit que $f(I)$ est un intervalle (et un segment si $I$ est un segment).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'étudie les variations de $f$ sur $I$ et je calcule les valeurs/limites aux bornes, ainsi que les extrema intérieurs éventuels.
3
Je lis sur le tableau de variations les bornes de $f(I)$ (atteintes si $I$ segment, éventuellement ouvertes si $I$ est ouvert ou non borné) et j'écris $f(I)$ .
Comment dresser le tableau de variations d'une fonction ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer $f(\mathbb{R})$ pour $f \colon x \mapsto x^2 + 1$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur

I

, ce qui garantit que

f(I)

est un intervalle (et un segment si

I

est un segment).

$f$ est polynomiale, donc continue sur $\mathbb{R}$ : $f(\mathbb{R})$ est un intervalle.

Étape 2 —

J'étudie les variations de

f

sur

I

et je calcule les valeurs/limites aux bornes, ainsi que les extrema intérieurs éventuels.

$f'(x) = 2x$ : $f$ décroît sur $]-\infty, 0]$ , croît sur $[0, +\infty[$ ; $f(0) = 1$ (minimum), $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$ .

Étape 3 —

Je lis sur le tableau de variations les bornes de

f(I)

(atteintes si

I

segment, éventuellement ouvertes si

I

est ouvert ou non borné) et j'écris

f(I)

Le minimum $1$ est atteint, $+\infty$ ne l'est pas : $f(\mathbb{R}) = [1, +\infty[$ .

$f(\mathbb{R}) = [1, +\infty[$ .

Application guidée

Déterminer $f([-1, 2])$ pour $f \colon x \mapsto x^2 - 2x$ .

Application autonome 1

Déterminer $f(]0, +\infty[)$ pour $f \colon x \mapsto \frac{1}{x}$ .

Application autonome 2

Déterminer $f(\mathbb{R})$ pour $f \colon x \mapsto \frac{x}{1 + x^2}$ .

Application autonome 3

Déterminer $f([0,\pi])$ pour $f\colon x\mapsto \sin(x)$ .

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