En vérifiant $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$

Montrer qu'une équation de la forme $f(x) = k$ admet au moins une solution sur un intervalle $[a, b]$ .

L'objectif

Montrer qu'une équation de la forme $f(x) = k$ admet au moins une solution sur un intervalle $[a, b]$ .

Le principe

Théorème des valeurs intermédiaires : si $f \colon [a, b] \to \mathbb{R}$ est continue et si $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur le segment $[a, b]$ (opérations sur les fonctions de référence, composition).
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
Je calcule $f(a)$ et $f(b)$ et je vérifie que $k$ est compris entre ces deux valeurs (i.e. $\min(f(a), f(b)) \leq k \leq \max(f(a), f(b))$ ).
3
Par le TVI, je conclus qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ (unicité non garantie par cette seule méthode).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur le segment

[a, b]

(opérations sur les fonctions de référence, composition).

La fonction $f \colon x \mapsto x^3 + x - 1$ est polynomiale, donc continue sur $[0, 1]$ .

Étape 2 —

Je calcule

f(a)

f(b)

et je vérifie que

k

est compris entre ces deux valeurs (i.e.

\min(f(a), f(b)) \leq k \leq \max(f(a), f(b))

$f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ , donc $0$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$ .

Étape 3 —

Par le TVI, je conclus qu'il existe

c \in [a, b]

tel que

f(c) = k

(unicité non garantie par cette seule méthode).

Par le TVI, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = 0$ : l'équation admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

L'équation admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

Application guidée

Montrer que l'équation $\cos(x) = x$ admet au moins une solution dans $[0, 1]$ .

Application autonome 1

Soit $f \colon [-1, 2] \to \mathbb{R}$ continue avec $f(-1) = 3$ et $f(2) = -2$ . Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet au moins une solution dans $[-1, 2]$ .

Application autonome 2

Montrer que l'équation $\mathrm{e}^x-x^2=0$ admet au moins une solution dans $[-1,0]$ .

Application autonome 3

Montrer que l'équation $\ln(x)=\dfrac{1}{x}$ admet au moins une solution dans $[1,\mathrm{e}]$ .

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En vérifiant fff continue sur [a,b][a,b][a,b] et kkk entre f(a)f(a)f(a) et f(b)f(b)f(b)

Pour comprendre, fais des exercices !

En vérifiant $f$ continue sur $[a,b]$ et $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$