Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?

En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

L'objectif

Prouver la continuité de $f$ en un point $a$ en vérifiant l'égalité $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ , notamment pour une fonction définie par morceaux.

Le principe

Une fonction $f$ définie sur $I$ est continue en $a\in I$ si et seulement si $\lim_{x\to a} f(x)$ existe et vaut $f(a)$ (avec éventuellement les deux limites latérales pour une fonction définie par morceaux).

La méthode

1
Je repère le point $a$ où j'étudie la continuité (souvent un point de raccord d'une fonction par morceaux) et je calcule $f(a)$ .
2
Je calcule $\lim_{x\to a^-} f(x)$ et $\lim_{x\to a^+} f(x)$ en utilisant l'expression de $f$ à gauche et à droite de $a$ .
3
Je vérifie l'égalité $\lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=f(a)$ .
4
Je conclus que $f$ est continue en $a$ (ou non, selon l'égalité).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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En vérifiant lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a} f(x)=f(a)limx→a​f(x)=f(a)

Exemple corrigé

En vérifiant $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$