En exploitant que $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ est $\mathcal{C}^1$ de dérivée $f$

Soit $F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. Étudier $F$.

Soit $G(x)=\int_1^x \ln t\,\mathrm{d}t$ pour $x>0$. Étudier $G$.

Soit $H(x) = \int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$. Montrer que $H$ est $\mathcal{C}^1$, impaire et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Soit $F(x)=\displaystyle\int_0^x \mathrm{e}^{-t^2}\,\mathrm{d}t$ pour $x\in\mathbb{R}$. Étudier la parité et la monotonie de $F$.

Soit $F(x)=\displaystyle\int_x^{2x}\dfrac{\mathrm{d}t}{t}$ pour $x>0$. Montrer que $F$ est constante.