Comment utiliser les intégrales de référence $\int \mathrm{d}t/t^\alpha$ et $\int e^{-t}\mathrm{d}t$ ? | MetMat

Comment utiliser les intégrales de référence $\int \mathrm{d}t/t^\alpha$ et $\int e^{-t}\mathrm{d}t$ ?

En comparant à $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ ), $\int_0^a \mathrm{d}t/(t-a)^\alpha$ (CV ssi $\alpha<1$ ), $\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}t$

Ramener la nature d'une intégrale à l'un des trois étalons classiques en identifiant le bon exposant ou la décroissance exponentielle.

L'objectif

Ramener la nature d'une intégrale à l'un des trois étalons classiques en identifiant le bon exposant ou la décroissance exponentielle.

Le principe

$\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha$ converge ssi $\alpha>1$ ; $\int_0^a \mathrm{d}t/(t-a)^\alpha$ converge ssi $\alpha<1$ ; $\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}t$ converge (et vaut $1$ ).

La méthode

1
On identifie la borne impropre (point fini, $+\infty$ ou $-\infty$ ) et on regarde le comportement dominant de $f$ au voisinage.
2
On choisit la référence adéquate : $1/t^\alpha$ en $+\infty$ (convergence ssi $\alpha>1$ ), $1/(t-a)^\alpha$ en $a$ (convergence ssi $\alpha<1$ ), ou $e^{-t}$ .
3
On établit la relation ( $\leq$ , $\sim$ ou $o$ ) entre $f$ et la référence, avec fonctions positives si on utilise un théorème de comparaison.
4
On conclut sur la nature (convergence ou divergence) de l'intégrale étudiée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étudier $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}$ .

Étape 1 —

On identifie la borne impropre (point fini,

+\infty

-\infty

) et on regarde le comportement dominant de

f

au voisinage.

La borne impropre est $+\infty$ ; $f(t)=1/t^{3/2}$ est exactement de type Riemann.

Étape 2 —

On choisit la référence adéquate :

1/t^\alpha

+\infty

(convergence ssi

\alpha>1

1/(t-a)^\alpha

a

(convergence ssi

\alpha<1

), ou

e^{-t}

La référence est $1/t^\alpha$ avec $\alpha=3/2>1$ .

Étape 3 —

On établit la relation (

\leq

\sim

o

) entre

f

et la référence, avec fonctions positives si on utilise un théorème de comparaison.

Il s'agit exactement de l'intégrale de référence.

Étape 4 —

On conclut sur la nature (convergence ou divergence) de l'intégrale étudiée.

Comme $\alpha=3/2>1$ , l'intégrale converge.

L'intégrale converge.

Application guidée

Étudier $\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^{1/3}}$ .

Application autonome 1

Étudier $\int_0^{+\infty} \frac{t^3}{e^t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 2

Étudier $\int_0^1 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Étudier $\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}t}{1+t^3}$ .

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En comparant à ∫1+∞dt/tα\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha∫1+∞​dt/tα (CV ssi α>1\alpha>1α>1), ∫0adt/(t−a)α\int_0^a \mathrm{d}t/(t-a)^\alpha∫0a​dt/(t−a)α (CV ssi α<1\alpha<1α<1), ∫0+∞e−tdt\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}t∫0+∞​e−tdt

Pour comprendre, fais des exercices !

En comparant à $\int_1^{+\infty} \mathrm{d}t/t^\alpha$ (CV ssi $\alpha>1$ ), $\int_0^a \mathrm{d}t/(t-a)^\alpha$ (CV ssi $\alpha<1$ ), $\int_0^{+\infty} e^{-t}\mathrm{d}t$