En trouvant une primitive et en passant à la limite aux bornes

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale généralisée convergente en exhibant une primitive.

L'objectif

Obtenir la valeur exacte d'une intégrale généralisée convergente en exhibant une primitive.

Le principe

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b[$ et si $\lim_{x\to b^-} F(x)=\ell\in\mathbb{R}$ , alors $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\ell-F(a)$ .

La méthode

1
On assure la convergence de l'intégrale (ou on la justifie par une méthode de comparaison).
2
On détermine une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle d'intégration (semi-ouvert ou ouvert).
3
On calcule les limites de $F$ aux bornes impropres et on écrit $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{y\to a^+} F(y)$ si les deux bornes sont impropres.

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Exercice d'exemple

Calculer $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

Étape 1 —

On assure la convergence de l'intégrale (ou on la justifie par une méthode de comparaison).

$t\mapsto e^{-t}$ est continue et positive sur $[0,+\infty[$ ; la convergence sera visible au calcul.

Étape 2 —

On détermine une primitive

F

f

sur l'intervalle d'intégration (semi-ouvert ou ouvert).

Une primitive de $e^{-t}$ est $-e^{-t}$ , donc $\int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t=1-e^{-x}$ .

Étape 3 —

On calcule les limites de

F

aux bornes impropres et on écrit

\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t=\lim_{x\to b^-} F(x)-\lim_{y\to a^+} F(y)

si les deux bornes sont impropres.

Quand $x\to +\infty$ , $e^{-x}\to 0$ , donc $\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t=1$ .

$\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t=1$ .

Application guidée

Calculer $I=\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Calculer $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t)^2}$ .

Application autonome 2

Calculer $\int_1^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

Application autonome 3

Calculer $\int_0^1 \ln(t)\,\mathrm{d}t$ .

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