En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$

L'objectif

Établir la convergence d'une intégrale impropre par étude directe de la limite des intégrales partielles.

Le principe

Par définition, $\int_a^b f(t)\,\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ admet une limite finie quand $x\to b^-$ .

La méthode

1
Je repère la ou les bornes impropres de l'intégrale (borne infinie ou point où $f$ n'est pas définie / n'est pas continue).
2
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle semi-ouvert considéré, puis j'introduis $F(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ pour $x\in[a,b[$ .
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
3
Je calcule $F(x)$ à l'aide d'une primitive ou d'une majoration simple.
4
J'étudie $\lim_{x\to b^-} F(x)$ : si la limite existe et est finie, l'intégrale converge, sinon elle diverge.

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Application guidée 1

Étudier la convergence de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2}$ .

Application guidée 2

Montrer que $\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}$ converge.

Application autonome 1

Étudier la nature de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t}$ .

Application autonome 2

Étudier la convergence de $\displaystyle\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 3

Étudier la convergence de $\displaystyle\int_0^1 \ln(t)\,\mathrm{d}t$ .

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En étudiant la limite de ∫axf(t) dt\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t∫ax​f(t)dt quand x→b−x\to b^-x→b−

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En étudiant la limite de $\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t$ quand $x\to b^-$