Comment effectuer une IPP ou un changement de variable dans une intégrale impropre ? | MetMat

Comment effectuer une IPP ou un changement de variable dans une intégrale impropre ?

En effectuant l'opération sur un segment $[a,x]$ puis en passant à la limite

Calculer ou simplifier une intégrale impropre en appliquant IPP/CDV sur un segment, puis en faisant tendre la borne vers la borne impropre.

L'objectif

Calculer ou simplifier une intégrale impropre en appliquant IPP/CDV sur un segment, puis en faisant tendre la borne vers la borne impropre.

Le principe

Les formules d'IPP et de CDV s'appliquent sur tout segment ; on les utilise sur $[a,x]\subset[a,b[$ puis on passe à la limite $x\to b^-$ en utilisant les limites des termes de bord.

La méthode

1
On se place sur un segment $[a,x]$ (ou $[x,b]$ ) inclus dans l'intervalle d'intégration, où les fonctions sont de classe $\mathcal{C}^1$ .
2
On applique l'IPP $\int_a^x u'v = [uv]_a^x - \int_a^x uv'$ , ou le changement de variable $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ bijection $\mathcal{C}^1$ croissante.
Comment effectuer une intégration par parties ?Voir
3
On vérifie que chaque terme (crochets et intégrale restante) admet une limite finie quand $x\to b^-$ .
4
On conclut en écrivant l'égalité des limites, ce qui donne la valeur (ou la nature) de l'intégrale impropre.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $I=\int_0^{+\infty} t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t$ par IPP.

Étape 1 —

On se place sur un segment

[a,x]

(ou

[x,b]

) inclus dans l'intervalle d'intégration, où les fonctions sont de classe

\mathcal{C}^1

Pour $x>0$ , je pose $u'(t)=e^{-t}$ , $u(t)=-e^{-t}$ , $v(t)=t$ , $v'(t)=1$ ; toutes sont $\mathcal{C}^1$ sur $[0,x]$ .

Étape 2 —

On applique l'IPP

\int_a^x u'v = [uv]_a^x - \int_a^x uv'

, ou le changement de variable

\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]

bijection

\mathcal{C}^1

croissante.

IPP : $\int_0^x t\,e^{-t}\,\mathrm{d}t=\left[-t\,e^{-t}\right]_0^x+\int_0^x e^{-t}\,\mathrm{d}t=-x\,e^{-x}+(1-e^{-x})$ .

Étape 3 —

On vérifie que chaque terme (crochets et intégrale restante) admet une limite finie quand

x\to b^-

Quand $x\to +\infty$ , $x\,e^{-x}\to 0$ (croissances comparées) et $e^{-x}\to 0$ , donc chaque terme a une limite finie.

Étape 4 —

On conclut en écrivant l'égalité des limites, ce qui donne la valeur (ou la nature) de l'intégrale impropre.

On obtient $I=0+1-0=1$ .

$I=1$ .

Application guidée

Calculer $J=\int_0^{+\infty} \frac{t}{(1+t^2)^2}\,\mathrm{d}t$ par changement de variable.

Application autonome 1

Calculer $K=\int_0^1 \ln(t)\,\mathrm{d}t$ par IPP.

Application autonome 2

Calculer $I=\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\ln(t)}{t^2}\,\mathrm{d}t$ par IPP.

Application autonome 3

Calculer $J=\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}t}{1+\mathrm{e}^t}$ par changement de variable.

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En effectuant l'opération sur un segment [a,x][a,x][a,x] puis en passant à la limite

Pour comprendre, fais des exercices !

En effectuant l'opération sur un segment $[a,x]$ puis en passant à la limite