Comment appliquer les théorèmes de comparaison pour fonctions positives ? | MetMat

Comment appliquer les théorèmes de comparaison pour fonctions positives ?

En appliquant $f\leq g$ , $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ au voisinage du point problématique (fonctions positives)

L'objectif

Déterminer la nature d'une intégrale de fonction positive sans la calculer, par comparaison avec une intégrale de référence.

Le principe

Si $f,g\geq 0$ au voisinage de $b$ : $f\leq g$ et $\int g$ converge $\Rightarrow \int f$ converge ; $f\sim g$ $\Rightarrow$ même nature ; $f=o(g)$ et $\int g$ converge $\Rightarrow \int f$ converge.

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue et positive au voisinage de la borne impropre $b$ (sinon, je travaille sur $|f|$ ).
2
Je cherche une fonction de référence $g\geq 0$ dont la nature de l'intégrale est connue (typiquement $1/t^\alpha$ ou $e^{-\alpha t}$ ).
3
J'établis une relation de comparaison au voisinage de $b$ : majoration $f\leq g$ , équivalence $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ .
4
Je conclus en appliquant le théorème de comparaison correspondant sur la convergence ou la divergence.

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Application guidée 1

Montrer que $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^2+t}$ converge.

Application guidée 2

Étudier la nature de $\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+1/t)}{t}\,\mathrm{d}t$ .

Application autonome 1

Étudier la nature de $\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}+1}$ .

Application autonome 2

Montrer que $\int_1^{+\infty} t^{10} e^{-t}\,\mathrm{d}t$ converge.

Application autonome 3

Étudier la nature de $\displaystyle\int_0^{1}\dfrac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}$ .

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En appliquant f≤gf\leq gf≤g, f∼gf\sim gf∼g, ou f=o(g)f=o(g)f=o(g) au voisinage du point problématique (fonctions positives)

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En appliquant $f\leq g$ , $f\sim g$ , ou $f=o(g)$ au voisinage du point problématique (fonctions positives)