En itérant dans une boucle `for` et en traçant les points (n, u_n) avec `plt.plot`

Visualiser graphiquement le comportement d'une suite $(u_n)$ en traçant les points $(n, u_n)$ pour $n = 0, 1, \ldots, N$ .

L'objectif

Visualiser graphiquement le comportement d'une suite $(u_n)$ en traçant les points $(n, u_n)$ pour $n = 0, 1, \ldots, N$ .

Le principe

Les termes d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ se calculent par itération dans une boucle for ; plt.plot(X, Y, 'o') trace le nuage des points $(X_i, Y_i)$ .

La méthode

1
J'importe numpy et matplotlib avec import numpy as np et import matplotlib.pyplot as plt.
2
Je fixe l'entier $N$ et j'initialise deux listes X = [0, 1, ..., N] (par list(range(N+1))) et U = [u_0] avec le premier terme.
3
J'itère dans une boucle for k in range(N): en ajoutant $u_{k+1} = f(u_k)$ à la liste U via U.append(...).
4
Je trace les points avec plt.plot(X, U, 'o') puis plt.show(), et j'interprète graphiquement le comportement de la suite.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Représenter les $20$ premiers termes de la suite définie par $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = u_n/2$ .

Étape 1 —

J'importe numpy et matplotlib avec import numpy as np et import matplotlib.pyplot as plt.

J'importe numpy et matplotlib : import numpy as np et import matplotlib.pyplot as plt.

Étape 2 —

Je fixe l'entier

N

et j'initialise deux listes X = [0, 1, ..., N] (par list(range(N+1))) et U = [u_0] avec le premier terme.

Je pose N = 20, X = list(range(N+1)), U = [10].

Étape 3 —

J'itère dans une boucle for k in range(N): en ajoutant

u_{k+1} = f(u_k)

à la liste U via U.append(...).

Pour $k$ de $0$ à $N-1$ , je calcule $u_{k+1} = u_k/2$ et je l'ajoute à U.

Étape 4 —

Je trace les points avec plt.plot(X, U, 'o') puis plt.show(), et j'interprète graphiquement le comportement de la suite.

Je trace le nuage $(n, u_n)$ : la suite tend rapidement vers $0$ .

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

N = 20
X = list(range(N + 1))
U = [10]
for k in range(N):
    U.append(U[k] / 2)

plt.plot(X, U, 'o')
plt.show()

Le nuage montre une décroissance géométrique de raison $1/2$ vers $0$ .

Application guidée

Représenter les $15$ premiers termes de la suite arithmético-géométrique $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2$ .

Application autonome 1

Représenter les $10$ premiers termes de la suite définie par $u_0 = 0{,}5$ et $u_{n+1} = u_n^2$ .

Application autonome 2

Représenter les $30$ premiers termes de la suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+1}$ .

Application autonome 3

Représenter les $25$ premiers termes de $u_0=0{,}3$ et $u_{n+1}=3{,}5\,u_n(1-u_n)$ (logistique).

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En itérant dans une boucle for et en traçant les points (n, u_n) avec plt.plot

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