En utilisant `al.solve(M, B)` pour MX=B et `al.matrix_power(M, k)` pour M^k

L'objectif

Résoudre un système linéaire $MX = B$ et calculer $M^k$ en Python.

Le principe

La fonction al.solve(M, B) renvoie la solution du système $MX = B$ lorsque $M$ est inversible ; al.matrix_power(M, k) renvoie $M^k$ (pour $k \in \mathbb{Z}$ ).

La méthode

1
J'importe les bibliothèques : import numpy as np et import numpy.linalg as al.
2
Je construis les matrices avec np.array([...]) : une liste de listes pour une matrice, une liste pour un vecteur colonne.
3
Pour résoudre $MX=B$ , je vérifie que $M$ est inversible (rang maximal via al.rank(M)) puis j'appelle X = al.solve(M, B).
Comment montrer qu'une matrice est inversible ?Voir
4
Pour calculer $M^k$ , j'appelle al.matrix_power(M, k) et j'exploite le résultat (par exemple pour une récurrence matricielle).

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Résoudre en Python le système $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ .

Application guidée 2

Résoudre $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$ .

Application autonome 1

Calculer $A^{10}$ pour $A = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}2 \\ 0{,}3 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ (matrice stochastique).

Application autonome 2

Résoudre en Python le système $\begin{cases} 3x - y + z = 4 \\ x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + 3z = 10 \end{cases}$ à l'aide de numpy.linalg.

Application autonome 3

Calculer $A^{20}$ pour $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}$ en Python.

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En utilisant al.solve(M, B) pour MX=B et al.matrix_power(M, k) pour M^k

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