Comment calculer une valeur approchée de la limite d'une suite ou de la somme d'une série ? | MetMat

Comment calculer une valeur approchée de la limite d'une suite ou de la somme d'une série ?

En itérant dans une boucle `while` jusqu'à un critère d'arrêt sur un seuil de précision ε

L'objectif

Obtenir une valeur approchée de $\lim_{n\to\infty} u_n$ ou de $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ à la précision $\varepsilon$ près.

Le principe

L'étude mathématique de la convergence fournit un critère d'arrêt (sur $|u_{n+1}-u_n|$ , sur $|a_n|$ ou sur un majorant de l'erreur) que l'on traduit en condition de boucle while.

La méthode

1
Je fixe la précision $\varepsilon > 0$ et j'initialise les variables : terme courant, terme précédent (pour une suite) ou somme partielle et terme général (pour une série).
2
J'écris la boucle while dont la condition exprime que le critère d'arrêt n'est pas encore atteint (par exemple abs(u_new - u_old) >= eps).
3
À chaque itération, je mets à jour les variables : calcul du terme suivant, ajout à la somme, incrément de l'indice.
4
Une fois la boucle terminée, je renvoie la valeur approchée et j'interprète le résultat en lien avec la limite théorique.

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Application guidée 1

Calculer une valeur approchée à $10^{-6}$ près de la limite de la suite $u_0 = 2$ , $u_{n+1} = \tfrac{1}{2}(u_n + 2/u_n)$ (qui tend vers $\sqrt{2}$ ).

Application guidée 2

Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $\sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{k!} = \mathrm{e}$ .

Application autonome 1

Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$ .

Application autonome 2

Écrire une fonction Python qui renvoie une valeur approchée à $10^{-5}$ près de la limite de $u_0=1$ , $u_{n+1}=(u_n+3/u_n)/2$ (qui converge vers $\sqrt{3}$ ).

Application autonome 3

Écrire une fonction Python qui calcule une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2}$ .

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