En montrant $F\cap G=\{0_E\}$

Prouver que $F$ et $G$ sont en somme directe (notée $F\oplus G$ ) via la caractérisation par l'intersection.

L'objectif

Prouver que $F$ et $G$ sont en somme directe (notée $F\oplus G$ ) via la caractérisation par l'intersection.

Le principe

$F$ et $G$ sont en somme directe $\iff F\cap G=\{0_E\}$ $\iff$ tout vecteur de $F+G$ s'écrit de manière unique $f+g$ avec $f\in F$ et $g\in G$ .

La méthode

1
On prend un vecteur $x$ quelconque dans $F\cap G$ , c'est-à-dire $x\in F$ et $x\in G$ .
2
On exploite les définitions ou équations qui décrivent $F$ et $G$ , et on montre que la seule possibilité est $x=0_E$ .
3
On conclut $F\cap G=\{0_E\}$ , donc la somme $F+G$ est directe et on peut la noter $F\oplus G$ .

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Exercice d'exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0))$ et $G=\mathrm{Vect}((0,0,1))$ . Montrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.

Étape 1 —

On prend un vecteur

x

quelconque dans

F\cap G

, c'est-à-dire

x\in F

x\in G

Soit $x=(a,b,c)\in F\cap G$ : $x\in F$ donne $c=0$ (composante en $(0,0,1)$ nulle), et $x\in G$ donne $a=b=0$ .

Étape 2 —

On exploite les définitions ou équations qui décrivent

F

G

, et on montre que la seule possibilité est

x=0_E

Donc $x=(0,0,0)=0_{\mathbb{R}^3}$ .

Étape 3 —

On conclut

F\cap G=\{0_E\}

, donc la somme

F+G

est directe et on peut la noter

F\oplus G

$F\cap G=\{0_{\mathbb{R}^3}\}$ , donc $F$ et $G$ sont en somme directe : $F\oplus G=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))=\mathbb{R}^3$ .

$F\cap G=\{0\}$ donc $F\oplus G$ existe.

Application guidée

Dans $\mathbb{R}_2[X]$ , soient $F=\mathrm{Vect}(1,X)$ et $G=\mathrm{Vect}(X^2)$ . Montrer $F\oplus G$ .

Application autonome 1

Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , soient $\mathcal{S}_n$ les matrices symétriques et $\mathcal{A}_n$ les matrices antisymétriques. Montrer $\mathcal{S}_n\cap\mathcal{A}_n=\{0\}$ .

Application autonome 2

Dans $\mathbb{R}^3$ , soient $F=\mathrm{Vect}((1,1,1))$ et $G=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ . Montrer que $F$ et $G$ sont en somme directe.

Application autonome 3

Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , soient $F$ l'ensemble des fonctions paires et $G$ celui des fonctions impaires. Montrer que $F\cap G=\{0\}$ .

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En montrant F∩G={0E}F\cap G=\{0_E\}F∩G={0E​}

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En montrant $F\cap G=\{0_E\}$