En calculant le rang de la matrice des vecteurs par pivot de Gauss

Calculer $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)$ en pivotant la matrice formée des coordonnées des vecteurs.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer le rang de $v_1=(1,2,-1)$ , $v_2=(2,3,1)$ , $v_3=(1,1,2)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Calculer $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)$ en pivotant la matrice formée des coordonnées des vecteurs.

Le principe

Le rang d'une famille de vecteurs est le rang de la matrice obtenue en plaçant leurs coordonnées en colonnes (ou en lignes), et ce rang est préservé par les opérations élémentaires : c'est le nombre de pivots d'une forme échelonnée.

La méthode

1
On écrit la matrice $A$ dont les lignes (ou les colonnes) sont les coordonnées des vecteurs $v_1,\dots,v_p$ dans une base de référence.
Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base ?Voir
2
On applique le pivot de Gauss (opérations $L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j$ et $L_i\leftrightarrow L_j$ ) pour mettre $A$ sous forme échelonnée, sans changer son rang.
Comment résoudre un système linéaire par pivot de Gauss ?Voir
3
On compte le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée : c'est le rang de la matrice, et donc le rang de la famille.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer le rang de $v_1=(1,2,-1)$ , $v_2=(2,3,1)$ , $v_3=(1,1,2)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On écrit la matrice

A

dont les lignes (ou les colonnes) sont les coordonnées des vecteurs

v_1,\dots,v_p

dans une base de référence.

J'écris les vecteurs en lignes : $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

On applique le pivot de Gauss (opérations

L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j

L_i\leftrightarrow L_j

) pour mettre

A

sous forme échelonnée, sans changer son rang.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donnent $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

On compte le nombre de lignes non nulles dans la forme échelonnée : c'est le rang de la matrice, et donc le rang de la famille.

Deux lignes non nulles : $\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

$\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

Application guidée

Calculer le rang de $v_1=(1,0,1,0)$ , $v_2=(0,1,0,1)$ , $v_3=(1,1,1,1)$ dans $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 1

Calculer le rang de $v_1=(1,1,1)$ , $v_2=(1,2,3)$ , $v_3=(1,4,9)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 2

Calculer le rang selon $m\in\mathbb{R}$ de $v_1=(1,1,m)$ , $v_2=(1,m,1)$ , $v_3=(m,1,1)$ .

Application autonome 3

Calculer le rang de $v_1=(1,2,3,4)$ , $v_2=(2,3,4,5)$ , $v_3=(3,4,5,6)$ dans $\mathbb{R}^4$ .

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