En extrayant une sous-famille libre maximale de la famille

Déterminer $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)=\dim(\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p))$ par extraction d'une sous-famille libre maximale.

L'objectif

Déterminer $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)=\dim(\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p))$ par extraction d'une sous-famille libre maximale.

Le principe

Le rang d'une famille $(v_1,\dots,v_p)$ est le cardinal de toute sous-famille libre maximale extraite, et cette sous-famille est une base de $\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)$ .

La méthode

1
On part de la famille vide et on ajoute les vecteurs $v_1,v_2,\dots$ un par un en vérifiant à chaque fois si $v_k$ est combinaison linéaire des vecteurs déjà conservés.
2
Si $v_k$ est combinaison linéaire des précédents conservés, on le supprime (il n'apporte rien au $\mathrm{Vect}$ ) ; sinon on le conserve.
3
On conclut : la sous-famille conservée est libre et engendre $\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)$ , donc $\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)$ est égal à son cardinal.

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Exercice d'exemple

Déterminer le rang de $v_1=(1,2,3)$ , $v_2=(2,4,6)$ , $v_3=(1,0,1)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On part de la famille vide et on ajoute les vecteurs

v_1,v_2,\dots

un par un en vérifiant à chaque fois si

v_k

est combinaison linéaire des vecteurs déjà conservés.

Je conserve $v_1\neq 0$ . Je teste $v_2$ : $v_2=2v_1$ donc $v_2$ est colinéaire à $v_1$ .

Étape 2 —

v_k

est combinaison linéaire des précédents conservés, on le supprime (il n'apporte rien au

\mathrm{Vect}

) ; sinon on le conserve.

Je supprime $v_2$ . Je teste $v_3$ : $v_3=\lambda v_1\iff (1,0,1)=(\lambda,2\lambda,3\lambda)$ , pas de $\lambda$ solution (première coord donne $\lambda=1$ , mais deuxième coord donne $2\neq 0$ ). Je conserve $v_3$ .

Étape 3 —

On conclut : la sous-famille conservée est libre et engendre

\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)

, donc

\mathrm{rg}(v_1,\dots,v_p)

est égal à son cardinal.

La sous-famille libre maximale extraite est $(v_1,v_3)$ , de cardinal $2$ . Donc $\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

$\mathrm{rg}(v_1,v_2,v_3)=2$ .

Application guidée

Déterminer le rang de $P_1=1+X$ , $P_2=X+X^2$ , $P_3=1-X^2$ dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Déterminer le rang de $v_1=(1,1,0,0)$ , $v_2=(0,1,1,0)$ , $v_3=(0,0,1,1)$ , $v_4=(1,0,0,-1)$ dans $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 2

Déterminer le rang de $v_1=(1,1,1)$ , $v_2=(2,2,2)$ , $v_3=(1,0,0)$ dans $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Déterminer le rang de $P_1=1$ , $P_2=X$ , $P_3=1+X$ , $P_4=X^2$ dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

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