Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ? | MetMat

Comment exploiter qu'une famille libre (ou génératrice) de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ est une base ?

En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base

L'objectif

Prouver qu'une famille est une base sans vérifier les deux propriétés (libre ET génératrice), en utilisant la dimension connue de l'espace.

Le principe

Dans un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ , toute famille libre de cardinal $n$ est une base, et toute famille génératrice de cardinal $n$ est une base (résultat admis au BO).

La méthode

1
Je connais ou je détermine la dimension $n$ de $E$ , et je vérifie que la famille $\mathcal{F}=(v_1,\dots,v_n)$ proposée a exactement $n$ vecteurs.
Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?Voir
2
Je choisis la propriété la plus commode à vérifier : soit je montre que $\mathcal{F}$ est libre (en résolvant $\sum \lambda_i v_i=0_E \Rightarrow \lambda_i=0$ ), soit je montre qu'elle est génératrice.
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
Je conclus que $\mathcal{F}$ est une base de $E$ grâce au théorème de caractérisation des bases en dimension $n$ .

Évalue la méthode

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Application guidée 1

Montrer que $\mathcal{F}=((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée 2

Montrer que $\mathcal{F}=(1,X-1,(X-1)^2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Soit $E$ un EV de dim $n$ et $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$ . Montrer que $(e_1,e_1+e_2,e_1+e_2+e_3,\dots,e_1+\dots+e_n)$ est une base de $E$ .

Application autonome 2

Montrer que $\mathcal{F}=((1,2),(2,5))$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Montrer que $\mathcal{F}=(X^2+1,X+1,X-1)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

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En utilisant qu'en dimension nnn, libre de cardinal nnn (ou génératrice de cardinal nnn) ⇒\Rightarrow⇒ base

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En utilisant qu'en dimension $n$ , libre de cardinal $n$ (ou génératrice de cardinal $n$ ) $\Rightarrow$ base