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Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ? | MetMat

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Comment déterminer la dimension d'un espace vectoriel ?

En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal

L'objectif

Déterminer $\dim(E)$ en construisant explicitement une base de $E$ .

Le principe

Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, appelé dimension de $E$ et noté $\dim(E)$ .

La méthode

1
Je propose une famille $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs de $E$ , souvent suggérée par la structure de $E$ (coordonnées, degrés, coefficients matriciels).
2
Je vérifie que $\mathcal{B}$ est libre (une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls) et génératrice (tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\mathcal{B}$ ).
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
Je conclus que $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et donc $\dim(E)=\mathrm{card}(\mathcal{B})=p$ .

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Application guidée 1

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée 2

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}_n[X]$ (polynômes de degré $\le n$ ).

Application autonome 1

Déterminer la dimension de $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ .

Application autonome 2

Soit $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ . Déterminer $\dim(F)$ .

Application autonome 3

Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , déterminer la dimension du sous-espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ des matrices symétriques.

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En exhibant une base de EEE et en comptant son cardinal

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En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal