En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal

Déterminer $\dim(E)$ en construisant explicitement une base de $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Déterminer $\dim(E)$ en construisant explicitement une base de $E$ .

Le principe

Toutes les bases d'un espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal, appelé dimension de $E$ et noté $\dim(E)$ .

La méthode

1
On propose une famille $\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)$ de vecteurs de $E$ , souvent suggérée par la structure de $E$ (coordonnées, degrés, coefficients matriciels).
2
On vérifie que $\mathcal{B}$ est libre (une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls) et génératrice (tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire de $\mathcal{B}$ ).
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
On conclut que $\mathcal{B}$ est une base de $E$ et donc $\dim(E)=\mathrm{card}(\mathcal{B})=p$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On propose une famille

\mathcal{B}=(e_1,\dots,e_p)

de vecteurs de

E

, souvent suggérée par la structure de

E

(coordonnées, degrés, coefficients matriciels).

Je considère la famille canonique $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ avec $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ , $e_3=(0,0,1)$ .

Étape 2 —

On vérifie que

\mathcal{B}

est libre (une combinaison linéaire nulle force tous les coefficients à être nuls) et génératrice (tout vecteur de

E

s'écrit comme combinaison linéaire de

\mathcal{B}

Si $a e_1+b e_2+c e_3=(0,0,0)$ alors $(a,b,c)=(0,0,0)$ donc $\mathcal{B}$ est libre ; et tout $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ s'écrit $x e_1+y e_2+z e_3$ , donc $\mathcal{B}$ est génératrice.

Étape 3 —

On conclut que

\mathcal{B}

est une base de

E

et donc

\dim(E)=\mathrm{card}(\mathcal{B})=p

$\mathcal{B}$ est une base de cardinal $3$ , donc $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ .

$\dim(\mathbb{R}^3)=3$ .

Application guidée

Déterminer la dimension de $\mathbb{R}_n[X]$ (polynômes de degré $\le n$ ).

Application autonome 1

Déterminer la dimension de $\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ .

Application autonome 2

Soit $F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\}$ . Déterminer $\dim(F)$ .

Application autonome 3

Dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , déterminer la dimension du sous-espace $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ des matrices symétriques.

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En exhibant une base de EEE et en comptant son cardinal

Pour comprendre, fais des exercices !

En exhibant une base de $E$ et en comptant son cardinal