En complétant une famille libre donnée par des vecteurs bien choisis pour obtenir une base

Construire une base de $E$ contenant une famille libre donnée.

L'objectif

Construire une base de $E$ contenant une famille libre donnée.

Le principe

Théorème de la base incomplète (admis au BO) : dans un EV de dimension finie $n$ , toute famille libre de cardinal $p\le n$ peut être complétée en une base par ajout de $n-p$ vecteurs choisis dans une famille génératrice de $E$ .

La méthode

1
On vérifie que la famille $\mathcal{L}=(v_1,\dots,v_p)$ donnée est bien libre, et on détermine $n=\dim(E)$ ; on sait qu'il faut ajouter $n-p$ vecteurs.
2
On choisit un vecteur candidat $w$ (souvent issu d'une base de référence de $E$ ), et on vérifie que $w\notin\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)$ pour que la famille augmentée reste libre. On répète jusqu'à atteindre le cardinal $n$ .
3
On conclut : la famille obtenue est libre de cardinal $n$ dans un EV de dimension $n$ , donc c'est une base de $E$ .

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Exercice d'exemple

Compléter $\mathcal{L}=((1,1,0))$ en une base de $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

On vérifie que la famille

\mathcal{L}=(v_1,\dots,v_p)

donnée est bien libre, et on détermine

n=\dim(E)

; on sait qu'il faut ajouter

n-p

vecteurs.

$\mathcal{L}$ est libre (un seul vecteur non nul) de cardinal $1$ ; $\dim(\mathbb{R}^3)=3$ , il faut ajouter $2$ vecteurs.

Étape 2 —

On choisit un vecteur candidat

w

(souvent issu d'une base de référence de

E

), et on vérifie que

w\notin\mathrm{Vect}(v_1,\dots,v_p)

pour que la famille augmentée reste libre. On répète jusqu'à atteindre le cardinal

n

Je teste $e_2=(0,1,0)$ : $e_2\notin\mathrm{Vect}((1,1,0))$ car sinon $e_2=\lambda(1,1,0)$ donnerait $\lambda=0$ (coord 1) et $\lambda=1$ (coord 2), contradiction. Je conserve. Je teste $e_3=(0,0,1)$ : si $e_3=a(1,1,0)+b(0,1,0)$ alors $a=0$ , $a+b=0$ , $0=1$ , impossible. Je conserve.

Étape 3 —

On conclut : la famille obtenue est libre de cardinal

n

dans un EV de dimension

n

, donc c'est une base de

E

La famille $((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$ est libre de cardinal $3$ dans $\mathbb{R}^3$ : c'est une base.

Base : $((1,1,0),(0,1,0),(0,0,1))$ .

Application guidée

Compléter $\mathcal{L}=(1+X)$ en une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Compléter $\mathcal{L}=((1,0,1,0),(0,1,0,1))$ en une base de $\mathbb{R}^4$ .

Application autonome 2

Compléter $\mathcal{L}=((1,2,3))$ en une base de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Compléter $\mathcal{L}=(X^2+1)$ en une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

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