En vérifiant que le vecteur nul appartient à F et que F est stable par combinaison linéaire

L'objectif

Montrer qu'une partie $F$ d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Le principe

Une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $F$ est non vide (en général on vérifie $0_E \in F$ ) et $F$ est stable par combinaison linéaire : $\forall (x, y) \in F^2, \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2, \lambda x + \mu y \in F$ .

La méthode

1
Je précise l'espace ambiant $E$ dans lequel $F$ est décrit et je rappelle que $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.
2
Je vérifie que $0_E \in F$ (ce qui assure notamment que $F$ est non vide).
3
Je prends $x, y \in F$ et $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ quelconques, j'exprime $\lambda x + \mu y$ et je vérifie qu'il satisfait la ou les conditions définissant $F$ .
4
Je conclus que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

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Application guidée 1

Montrer que $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - 2z = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$ .

Application guidée 2

Montrer que $F = \{P \in \mathbb{R}_3[X] \mid P(1) = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}_3[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que $F = \left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \\ a - b \end{pmatrix} \mid (a, b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ .

Application autonome 2

Montrer que $F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 1\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^2$ .

Application autonome 3

Soit $F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x-y+z=0\text{ et }y-2t=0\}$ . Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^4$ .

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