En montrant $\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$

Prouver qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre dans un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que la famille $(v_1, v_2, v_3) = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

L'objectif

Prouver qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre dans un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre si et seulement si $\forall (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, \left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i \in \{1, \ldots, n\}, \lambda_i = 0 \right)$ .

La méthode

1
Je suppose $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E$ avec $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$ .
2
Je traduis cette égalité en un système linéaire homogène en les $\lambda_i$ (en identifiant les coordonnées, ou en évaluant en des points bien choisis si les $v_i$ sont des polynômes).
3
Je résous le système et je montre que l'unique solution est $\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0$ .
4
Je conclus que la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est libre.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que la famille $(v_1, v_2, v_3) = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Étape 1 —

Je suppose

\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E

avec

(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n

Soient $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \in \mathbb{R}$ tels que $\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 = 0_{\mathbb{R}^3}$ .

Étape 2 —

Je traduis cette égalité en un système linéaire homogène en les

\lambda_i

(en identifiant les coordonnées, ou en évaluant en des points bien choisis si les

v_i

sont des polynômes).

En identifiant coordonnée par coordonnée : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\lambda_3 = 0$ .

Étape 3 —

Je résous le système et je montre que l'unique solution est

\lambda_1 = \cdots = \lambda_n = 0

La troisième équation donne $\lambda_3 = 0$ , puis la deuxième $\lambda_2 = 0$ , puis la première $\lambda_1 = 0$ .

Étape 4 —

Je conclus que la famille

(v_1, \ldots, v_n)

est libre.

Donc $(v_1, v_2, v_3)$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

La famille est libre.

Application guidée

Montrer que la famille $(1, X, X^2)$ est libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que la famille $(P_1, P_2, P_3) = (1, X - 1, (X - 1)^2)$ est libre dans $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 2

La famille $\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \right)$ est-elle libre dans $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ ?

Application autonome 3

Montrer que la famille $(v_1,v_2)=((1,2,3),(4,5,6))$ est libre dans $\mathbb{R}^3$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En montrant ∑λivi=0E⇒∀i,λi=0\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0∑λi​vi​=0E​⇒∀i,λi​=0

Pour comprendre, fais des exercices !

En montrant $\sum \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$