Comment montrer qu'une famille est génératrice ?

En montrant que tout vecteur de E s'écrit comme combinaison linéaire

L'objectif

Prouver qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ .

Le principe

La famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ si et seulement si $\forall x \in E, \exists (\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n, x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ .

La méthode

1
Je prends $x \in E$ générique et j'écris ses coordonnées dans une base de référence.
Comment déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base ?Voir
2
J'écris l'équation $x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$ sous forme d'un système linéaire en les inconnues $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ .
3
Je résous ce système et je vérifie qu'il admet au moins une solution, quel que soit $x \in E$ .
4
Je conclus que $(v_1, \ldots, v_n)$ est génératrice de $E$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 3

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