En résolvant un système linéaire donnant les scalaires

Trouver l'unique $n$ -uplet $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ tel que $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ dans une base $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ .

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans la base $\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))$ de $\mathbb{R}^2$ , déterminer les coordonnées de $x = (3, 5)$ .

L'objectif

Trouver l'unique $n$ -uplet $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ tel que $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ dans une base $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ .

Le principe

Dans une base $\mathcal{B} = (v_1, \ldots, v_n)$ de $E$ , tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ ; les $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ sont ses coordonnées dans $\mathcal{B}$ , obtenues en résolvant le système linéaire correspondant.

La méthode

1
Je pose $x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n$ avec $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n$ inconnus.
2
Je traduis cette équation en système linéaire en identifiant les coordonnées dans une base de référence (ou en évaluant en des valeurs bien choisies pour des polynômes).
3
Je résous le système pour obtenir les valeurs de $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ .
4
Je conclus que $[x]_{\mathcal{B}} = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ , éventuellement présentées sous forme de matrice colonne $\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dans la base $\mathcal{B} = ((1, 1), (1, -1))$ de $\mathbb{R}^2$ , déterminer les coordonnées de $x = (3, 5)$ .

Étape 1 —

Je pose

x = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n

avec

(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n

inconnus.

On cherche $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que $(3, 5) = \lambda_1 (1, 1) + \lambda_2 (1, -1)$ .

Étape 2 —

Je traduis cette équation en système linéaire en identifiant les coordonnées dans une base de référence (ou en évaluant en des valeurs bien choisies pour des polynômes).

En identifiant : $\lambda_1 + \lambda_2 = 3$ et $\lambda_1 - \lambda_2 = 5$ .

Étape 3 —

Je résous le système pour obtenir les valeurs de

\lambda_1, \ldots, \lambda_n

La somme donne $2 \lambda_1 = 8$ , donc $\lambda_1 = 4$ , puis $\lambda_2 = -1$ .

Étape 4 —

Je conclus que

[x]_{\mathcal{B}} = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

, éventuellement présentées sous forme de matrice colonne

\begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{pmatrix}

Donc $[x]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ .

$[x]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$ , soit $(3, 5) = 4(1, 1) - (1, -1)$ .

Application guidée

Dans la base $\mathcal{B} = (1, X - 1, (X - 1)^2)$ de $\mathbb{R}_2[X]$ , déterminer les coordonnées de $P = X^2$ .

Application autonome 1

Dans la base $\mathcal{B} = \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$ de $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ , déterminer les coordonnées de $X = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Dans la base $\mathcal{B}=((1,2,0),(0,1,-1),(1,0,1))$ de $\mathbb{R}^3$ , déterminer les coordonnées de $x=(2,3,-1)$ .

Application autonome 3

Dans la base $\mathcal{B}=(1+X,1-X,X^2+1)$ de $\mathbb{R}_2[X]$ , déterminer les coordonnées de $P=X^2+X+1$ .

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