En prouvant que la famille est libre et génératrice

L'objectif

Montrer qu'une famille finie $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ .

Le principe

Une famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base de $E$ si et seulement si elle est à la fois libre et génératrice de $E$ ; cela équivaut à l'existence et l'unicité d'une écriture $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ pour tout $x \in E$ .

La méthode

1
Je vérifie que la famille $(v_1, \ldots, v_n)$ est une famille de vecteurs de $E$ .
2
Je montre qu'elle est libre : $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0_E \Rightarrow \forall i, \lambda_i = 0$ .
Comment montrer qu'une famille est libre ?Voir
3
Je montre qu'elle est génératrice de $E$ : pour tout $x \in E$ , il existe des $\lambda_i$ tels que $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i$ .
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?Voir
4
Je conclus que $(v_1, \ldots, v_n)$ est une base de $E$ .

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Application guidée 1

Montrer que $(v_1, v_2) = ((1, 1), (1, -1))$ est une base de $\mathbb{R}^2$ .

Application guidée 2

Montrer que $(1, X - 1, (X - 1)^2)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

Application autonome 1

Montrer que $\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right)$ est la base canonique de $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ .

Application autonome 2

Montrer que $((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))$ est une base de $\mathbb{R}^3$ .

Application autonome 3

Montrer que $(1, X, X(X-1))$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$ .

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