En appliquant $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ pour $(A_n)$ deux à deux disjoints

L'objectif

Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)$ lorsque les événements $(A_n)_{n\geq 0}$ sont deux à deux disjoints.

Le principe

L'axiome de $\sigma$ -additivité affirme que pour toute suite $(A_n)_{n\geq 0}$ d'événements deux à deux disjoints, $P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ .

La méthode

1
J'identifie l'événement à étudier comme une union dénombrable $\bigcup_{n\geq 0} A_n$ et je vérifie que les $A_n$ sont deux à deux disjoints ( $A_i \cap A_j = \varnothing$ pour $i\neq j$ ).
2
J'applique la $\sigma$ -additivité : $P\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ .
3
Je calcule la somme de la série (série géométrique, télescopique, exponentielle…) pour obtenir la valeur finale.
Comment calculer la somme d'une série géométrique et de ses dérivées ?Voir

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Application guidée 1

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $A_n$ l'événement « le premier pile apparaît au rang $n$ » pour $n\geq 1$ . Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)$ .

Application guidée 2

Soit $(B_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements deux à deux disjoints avec $P(B_n)=\frac{1}{2^{n+1}}$ . Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 0} B_n\right)$ .

Application autonome 1

On tire successivement une boule avec remise dans une urne. Soit $C_n$ : « la boule numéro 1 apparaît pour la première fois au tirage $n$ ». On admet $P(C_n)=\frac{1}{N}\left(1-\frac{1}{N}\right)^{n-1}$ avec $N\geq 2$ . Calculer $P\left(\bigcup_{n\geq 1} C_n\right)$ .

Application autonome 2

Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite d'événements deux à deux disjoints avec $P(A_n)=\dfrac{1}{n(n+1)}$ . Calculer $P\!\left(\bigcup_{n\geq 1} A_n\right)$ .

Application autonome 3

On lance indéfiniment un dé équilibré à $6$ faces. Soit $A_n$ : « le premier $6$ apparaît au $n$ -ème lancer », pour $n\geq 1$ . Calculer $P\!\left(\bigcup_{n\geq 1}A_n\right)$ .

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En appliquant P(⋃n≥0An)=∑n=0+∞P(An)P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)P(⋃n≥0​An​)=∑n=0+∞​P(An​) pour (An)(A_n)(An​) deux à deux disjoints

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En appliquant $P\left(\bigcup_{n\geq 0} A_n\right)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n)$ pour $(A_n)$ deux à deux disjoints