En appliquant $P(B)=\sum_{n\geq 0} P_{A_n}(B) P(A_n)$ avec $(A_n)$ SCE dénombrable non négligeable

On lance une pièce équilibrée jusqu'à obtenir pile pour la première fois ; soit $N$ le rang de ce pile. On lance alors $N$ dés équilibrés à 6 faces. Calculer la probabilité $P(B)$ où $B$ est « obtenir au moins un 6 parmi les dés lancés ».

On tire une boule dans une urne contenant une proportion $\frac{1}{2^{n+1}}$ de boules numérotées $n$ pour $n\in \mathbb{N}$. Si on tire la boule $n$, on lance $n$ fois une pièce équilibrée. Soit $B$ : « obtenir au moins un pile ». Calculer $P(B)$.

Deux joueurs tirent chacun à leur tour une pièce biaisée (probabilité $p\in ]0,1[$ de faire pile). Le premier qui obtient pile gagne. Calculer la probabilité que le joueur A (qui commence) gagne.

On lance une pièce équilibrée indéfiniment. Soit $N$ le rang du premier pile. Sachant $N=n$, on tire une boule dans une urne contenant $n$ boules numérotées $1,\ldots,n$. Calculer $P(X=1)$ où $X$ est le numéro tiré.

Un joueur lance un dé équilibré. Si le résultat est $k$, il lance $k$ fois une pièce équilibrée. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un pile.