Comment montrer que des événements d'une suite sont mutuellement indépendants ? | MetMat

Comment montrer que des événements d'une suite sont mutuellement indépendants ?

En vérifiant la relation produit pour toute sous-famille finie

Montrer que les événements d'une suite $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont mutuellement indépendants.

L'objectif

Montrer que les événements d'une suite $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont mutuellement indépendants.

Le principe

Les événements $(A_n)_{n\in \mathbb{N}}$ sont mutuellement indépendants si et seulement si pour toute partie finie $I\subset \mathbb{N}$ , $P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)=\prod_{k\in I} P(A_k)$ .

La méthode

1
Je soigne la modélisation : je décris précisément chaque $A_n$ et je calcule $P(A_n)$ .
2
Je me donne une partie finie quelconque $I=\{k_1<\dots<k_p\}\subset \mathbb{N}$ et j'exprime $\bigcap_{k\in I} A_k$ concrètement sur l'expérience.
3
Je calcule $P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)$ (souvent via l'indépendance d'épreuves répétées ou une structure produit) et $\prod_{k\in I} P(A_k)$ , puis je vérifie leur égalité.
4
Je conclus que la relation produit étant valable pour toute partie finie $I$ , la suite $(A_n)$ est mutuellement indépendante.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $A_n$ : « pile au $n$ -ième lancer ». Montrer que la suite $(A_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

Étape 1 —

Je soigne la modélisation : je décris précisément chaque

A_n

et je calcule

P(A_n)

Chaque $A_n$ correspond à un lancer indépendant avec $P(A_n)=\frac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Je me donne une partie finie quelconque

I=\{k_1<\dots<k_p\}\subset \mathbb{N}

et j'exprime

\bigcap_{k\in I} A_k

concrètement sur l'expérience.

Soit $I=\{k_1<\dots<k_p\}\subset \mathbb{N}^*$ . L'événement $\bigcap_{k\in I} A_k$ correspond à « pile aux lancers $k_1,\dots,k_p$ ».

Étape 3 —

Je calcule

P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)

(souvent via l'indépendance d'épreuves répétées ou une structure produit) et

\prod_{k\in I} P(A_k)

, puis je vérifie leur égalité.

Par indépendance des lancers, $P\left(\bigcap_{k\in I} A_k\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^p=\prod_{k\in I} P(A_k)$ .

Étape 4 —

Je conclus que la relation produit étant valable pour toute partie finie

I

, la suite

(A_n)

est mutuellement indépendante.

La relation produit est vérifiée pour toute partie finie $I$ .

La suite $(A_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

Application guidée

On tire avec remise une boule dans une urne contenant $N$ boules dont une rouge. Soit $B_n$ : « la boule rouge est tirée au $n$ -ième tirage ». Montrer que $(B_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

Application autonome 1

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre $p\in ]0,1[$ , et $A_n=\{X_n=1\}$ . Montrer que $(\bar A_n)_{n\geq 1}$ est aussi mutuellement indépendante.

Application autonome 2

On tire sans remise dans une urne infinie contenant des boules numérotées (modélisation idéale). $A_n$ = « la $n$ -ième boule est paire » avec $P(A_n)=\tfrac{1}{2}$ indépendamment. Montrer que $(A_n)$ est mutuellement indépendante.

Application autonome 3

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de dés équilibrés à $6$ faces, lancés indépendamment. Soit $A_n$ : « $X_n$ est pair ». Montrer que $(A_n)_{n\geq 1}$ est mutuellement indépendante.

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