En appliquant le théorème de la bijection (cas continu strictement monotone)

Établir la bijectivité d'une fonction réelle en utilisant continuité et stricte monotonie sur un intervalle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^3 + x$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Établir la bijectivité d'une fonction réelle en utilisant continuité et stricte monotonie sur un intervalle.

Le principe

Théorème de la bijection : si $f \colon I \to \mathbb{R}$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ , qui est un intervalle déterminé par les limites de $f$ aux bornes de $I$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ considéré.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'étudie le sens de variation de $f$ (par le signe de $f'$ ) et je montre qu'elle est strictement monotone sur $I$ .
3
Je calcule les limites de $f$ aux bornes de $I$ pour déterminer $J = f(I)$ , puis je conclus : $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^3 + x$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Je vérifie que

f

est continue sur l'intervalle

I

considéré.

$f$ est polynomiale donc continue sur $\mathbb{R}$ .

Étape 2 —

J'étudie le sens de variation de

f

(par le signe de

f'

) et je montre qu'elle est strictement monotone sur

I

$f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je calcule les limites de

f

aux bornes de

I

pour déterminer

J = f(I)

, puis je conclus :

f

réalise une bijection de

I

sur

J

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ , donc $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$ : $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

$f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée

Montrer que $f \colon [0, +\infty[ \to [1, +\infty[,\ x \mapsto x^2 + 1$ est bijective.

Application autonome 1

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to ]-1, 1[,\ x \mapsto \frac{x}{1 + |x|}$ est bijective.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon]0,1]\to[0,+\infty[,\ x\mapsto \dfrac{1-x}{x}$ est bijective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon \mathbb{R}\to]-\pi/2,\pi/2[,\ x\mapsto \arctan(x)$ est bijective.

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