En appliquant le théorème de la bijection (cas continu strictement monotone)

L'objectif

Établir la bijectivité d'une fonction réelle en utilisant continuité et stricte monotonie sur un intervalle.

Le principe

Théorème de la bijection : si $f \colon I \to \mathbb{R}$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ , qui est un intervalle déterminé par les limites de $f$ aux bornes de $I$ .

La méthode

1
Je vérifie que $f$ est continue sur l'intervalle $I$ considéré.
Comment montrer qu'une fonction est continue en un point ou sur un intervalle ?Voir
2
J'étudie le sens de variation de $f$ (par le signe de $f'$ ) et je montre qu'elle est strictement monotone sur $I$ .
3
Je calcule les limites de $f$ aux bornes de $I$ pour déterminer $J = f(I)$ , puis je conclus : $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$ .

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Application guidée 1

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^3 + x$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application guidée 2

Montrer que $f \colon [0, +\infty[ \to [1, +\infty[,\ x \mapsto x^2 + 1$ est bijective.

Application autonome 1

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to ]-1, 1[,\ x \mapsto \frac{x}{1 + |x|}$ est bijective.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon]0,1]\to[0,+\infty[,\ x\mapsto \dfrac{1-x}{x}$ est bijective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon \mathbb{R}\to]-\pi/2,\pi/2[,\ x\mapsto \arctan(x)$ est bijective.

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