En utilisant la stricte monotonie (cas réel)

Prouver l'injectivité d'une fonction réelle définie sur un intervalle en établissant sa stricte monotonie.

L'objectif

Prouver l'injectivité d'une fonction réelle définie sur un intervalle en établissant sa stricte monotonie.

Le principe

Toute fonction $f \colon I \to \mathbb{R}$ strictement monotone sur un intervalle $I$ est injective, car $x \neq y$ implique $f(x) \neq f(y)$ .

La méthode

1
Je précise l'intervalle $I$ de définition et je vérifie que $f$ y est dérivable (ou directement étudiable).
2
J'étudie le signe de $f'$ sur $I$ : si $f'$ est strictement positive (resp. négative) sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante (resp. décroissante) sur $I$ .
3
Je conclus que $f$ est injective sur $I$ par stricte monotonie.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Montrer que $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto e^x + x$ est injective.

Étape 1 —

Je précise l'intervalle

I

de définition et je vérifie que

f

y est dérivable (ou directement étudiable).

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme somme de fonctions dérivables.

Étape 2 —

J'étudie le signe de

f'

sur

I

: si

f'

est strictement positive (resp. négative) sur

I

, alors

f

est strictement croissante (resp. décroissante) sur

I

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f'(x) = e^x + 1 > 0$ , donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .

Étape 3 —

Je conclus que

f

est injective sur

I

par stricte monotonie.

$f$ étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , elle y est injective.

$f$ est injective.

Application guidée

Montrer que $f \colon ]0, +\infty[ \to \mathbb{R},\ x \mapsto \ln(x) - x$ est injective sur $]0, 1]$ .

Application autonome 1

Montrer que $f \colon [0, +\infty[ \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$ est injective.

Application autonome 2

Montrer que $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\ x\mapsto x^3+x$ est injective.

Application autonome 3

Montrer que $f\colon ]0,+\infty[\to\mathbb{R},\ x\mapsto x+\dfrac{1}{x}$ est injective sur $[1,+\infty[$ .

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices