En énumérant les parties ou en utilisant $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$

L'objectif

Décrire complètement $\mathcal{P}(E)$ ou déterminer son cardinal pour un ensemble fini $E$ .

Le principe

Si $E$ est fini de cardinal $n$ , alors $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^n$ ; et on peut lister les parties en indiquant, pour chaque élément, s'il y figure ou non.

La méthode

1
Je pose $n = \mathrm{card}(E)$ et j'écris les éléments de $E$ .
2
Je regroupe les parties par cardinal $p \in \{0, 1, \dots, n\}$ , avec $\binom{n}{p}$ parties de cardinal $p$ .
3
J'énumère explicitement chaque groupe (en commençant par $\emptyset$ , puis les singletons, les paires, etc., jusqu'à $E$ ).
4
Je vérifie la cohérence en comparant le total énuméré au cardinal attendu : $\sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} = 2^n$ .

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Application guidée 1

Déterminer $\mathcal{P}(E)$ pour $E = \{a, b\}$ .

Application guidée 2

Soit $E = \{1, 2, 3\}$ . Dresser la liste de $\mathcal{P}(E)$ et vérifier son cardinal.

Application autonome 1

Un jury choisit un sous-comité parmi $5$ membres. Combien de sous-comités différents peut-il former (y compris vide et complet) ?

Application autonome 2

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ . Combien existe-t-il de couples $(A, B) \in \mathcal{P}(E)^2$ tels que $A \subset B$ ?

Application autonome 3

Soit $E=\{1,2,3,4\}$ . Déterminer $\mathrm{card}(\mathcal{P}(E))$ et énumérer les parties de cardinal $2$ .

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En énumérant les parties ou en utilisant card(P(E))=2n\mathrm{card}(\mathcal{P}(E)) = 2^ncard(P(E))=2n

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