Comment manipuler union, intersection, complémentaire (lois de Morgan) ? | MetMat

Comment manipuler union, intersection, complémentaire (lois de Morgan) ?

En appliquant la distributivité et les lois de Morgan

Simplifier ou transformer une expression faisant intervenir $\cup$, $\cap$ et $\overline{\cdot}$.

L'objectif

Simplifier ou transformer une expression faisant intervenir $\cup$ , $\cap$ et $\overline{\cdot}$ .

Le principe

Les opérations ensemblistes suivent la distributivité ( $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , et symétrique) ainsi que les lois de Morgan : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ .

La méthode

1
J'identifie l'opération extérieure de l'expression (union, intersection, ou complémentaire global).
2
Si le complémentaire porte sur une union ou une intersection, j'applique la loi de Morgan correspondante pour le faire rentrer.
3
J'applique la distributivité de $\cap$ sur $\cup$ (ou inversement) pour développer ou factoriser, et j'utilise $\overline{\overline{A}} = A$ , $A \cup \overline{A} = E$ , $A \cap \overline{A} = \emptyset$ .
4
Je simplifie les absorptions ( $A \cup (A \cap B) = A$ , $A \cap (A \cup B) = A$ ) et je lis le résultat final.

Évalue la méthode

0/5 validés

Cherche chaque exercice au brouillon, puis coche “j'ai réussi” si tu as trouvé la bonne démarche. Utilise le bouton aide si tu as besoin d'un coup de pouce.

Application guidée 1

Soient $A, B \subset E$ . Simplifier $\overline{A \cup \overline{B}}$ .

Application guidée 2

Soient $A, B, C \subset E$ . Simplifier $(A \cup B) \cap (A \cup \overline{B})$ .

Application autonome 1

Soient $A, B \subset E$ . Simplifier $\overline{A \cap B} \cup \overline{A \cap \overline{B}}$ .

Application autonome 2

Soient $A, B \subset E$ . Montrer que $A \setminus (A \cap B) = A \cap \overline{B}$ .

Application autonome 3

Soient $A,B,C\subset E$ . Montrer que $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ .

Connecte-toi pour cocher tes exercices réussis et sauvegarder ta progression.